2018北京各城区一模导数.doc

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1、2018一模导数（文理）朝阳理18．已知函数．（Ⅰ）当时，（ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若，求证：．18．(本小题满分13分)（Ⅰ）当时，..（ⅰ）可得，又，所以在点（）处的切线方程为.（ⅱ）在区间（）上，且，则.在区间（）上，且，则.所以的单调递增区间为（），单调递减区间为（）.（Ⅱ）由，，等价于，等价于.设，只须证成立.因为，，由，得有异号两根.令其正根为，则.在上，在上.则的最小值为.又，，所以.则.因此，即.所以，所以.朝阳文20.（本小题满分13分）已知函数.（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若，求函数的单

2、调区间；（Ⅲ）若，求证：.20.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）若，则，，，所以在点处的切线方程为．（Ⅱ），.令，则．令，得．（依题意）由，得；由，得．所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增所以，．因为，所以，．所以，即．所以函数的单调递增区间为．（Ⅲ）由，，等价于，等价于.设，只须证成立.因为，，由，得有异号两根.令其正根为，则.在上，在上.则的最小值为.又，，所以.则.因此，即.所以所以.石景山理19．已知，曲线在处的切线方程为.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求在上的最大值；（Ⅲ）当时，判断与交点的个数.（只需写出结论，不要求证明）19．解：（Ⅰ）,由已知可

3、得，解之得．（Ⅱ）令．则,故当时，，在单调递减；当时，，在单调递增；所以，故在单调递增，所以．（Ⅲ）当时，与有两个交点.石景山文20．（本小题共14分）设函数，．（Ⅰ）当时，求函数的极小值；（Ⅱ）讨论函数零点的个数；（Ⅲ）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．20.（本小题14分）解：（Ⅰ）因为，所以当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增；所以当时，取得极小值．（Ⅱ），令，得．设，则．所以当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减；所以的最大值为，又，可知：①当时，函数没有零点；②当或时，函数有且仅有1个零点；③当时，函数有2个零．（Ⅲ）原命题等价

4、于恒成立．.设，则等价于在上单调递减．即在上恒成立,所以恒成立，所以．即的取值范围是．东城理（19）已知函数.（I）若曲线在处的切线斜率为0，求的值；（II）若恒成立，求的取值范围；（III）证明：当时，曲线总在曲线的上方.（19）解：（I）函数的定义域为.因为，所以.由得.（II）.①当时，令得.时，；时，.在上单调递减，在上单调递增.所以当时，有最小值.“恒成立”等价于“最小值大于等于0”，即.因为，所以.②当时，符合题意；③当时，取，则，不符合题意.综上，若对恒成立，则的取值范围为.（III）当时，令，可求.因为，，且在上单调递增，所以在（0，）

5、上存在唯一的，使得，即，且.当变化时，与在（0，）上的情况如下：0极小则当时，存在最小值,且.因为，所以.u所以当时，所以当时，曲线总在曲线的上方...…………14分东城文（20）已知函数，.（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）当时，求在区间上的最大值和最小值；（Ⅲ）当时，若方程在区间上有唯一解，求的取值范围.（20）解：（Ⅰ）当时，，所以，.又因为，所以曲线在点处的切线方程为.（Ⅱ）当时，，所以．当时，，，所以.所以在区间上单调递增．因此在区间上的最大值为，最小值为.（Ⅲ）当时，.设，，因为，,所以.所以在区间上单调递减．因为，，所以存在唯一的

6、，使，即.所以在区间上单调递增，在区间上单调递减．因为，，又因为方程在区间上有唯一解，所以.海淀理18.已知函数.（Ⅰ）当时，求函数的单调递增区间；（Ⅱ）当时，若函数的最大值为，求的值.18.（Ⅰ）当时，,令，得,故的单调递增区间为（Ⅱ）方法1：令,则由，故存在，故当时，；当时，↗极大值↘故故，解得故的值为.（Ⅱ）方法2：的最大值为的充要条件为对任意的，且存在，使得，等价于对任意的，且存在，使得，等价于的最大值为.，令，得.↗极大值↘故的最大值为，即.13分海淀文20．已知函数.（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）当时，判断在上的单调性，并说明理由

7、；（Ⅲ）当时，求证：，都有.20．解：（Ⅰ）当时，,.得又,所以曲线在处的切线方程为（Ⅱ）方法1：因为，所以因为，所以.所以.所以当时，，所以在区间单调递增.………….…8分方法2：因为，所以.令，则，随x的变化情况如下表：x+极大值当时，.所以时，，即，所以在区间单调递增.（Ⅲ）方法1：由（Ⅱ）可知，当时，在区间单调递增，所以时，.当时，设，则，随x的变化情况如下表：x+极大值所以在上单调递增，在上单调递减因为，，所以存在唯一的实数，使得，且当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减.又，,所以当时，对于任意的，.综上所述，当时，对任意的，均有.

8、……….…13分方法2：由（Ⅱ）可知，当时，在区间单调递增，所以时，.当时，由（Ⅱ）知，在上单