高中精品-数学：求递推数列通项公式的十种策略例析.doc

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1、3.3递推数列一、基本知识简述1．有关概念：我们在研究数列{an}时，如果任一项an与它的前一项（或几项）间的关系可以用一个公式来表示，则此公式就称为数列的递推公式。通过递推公式给出的数列，一般我们也称之为递推数列。主要有以下几种方法：（1）构造法：通过构造特殊的数列（一般为等差数列或等列），利用特殊数列的通项求递推数列的通项.（2）迭代法：将递推式适当变形后，用下标较小的项代替某些下标较大的项，在一般项和初始之间建立某种联系，从而求出通项.（3）代换法：包括代数代换、三角代换等（4）待定系数法：先设定通项的基本形式，再根据题设条件求出待定的系数。3.思想策略：构造新数列的思想。4.常

2、见类型：类型Ⅰ：（一阶递归）类型II:分式线性递推数列:二、例题：例1：，，求通项分析：构造辅助数列，，则求通项过程中，多次利用递推的思想方法以及把一般数列转化为等差、等比数列去讨论，从而求出了通项公式。[一般形式]已知，，其中p,q,a为常数，求通项[同类变式]已知数列满足，且，求通项分析：（待定系数），构造数列使其为等比数列，即，解得求得[归纳]：类型Ⅰ：（一阶递归）52求学网教育论坛免费学习资料其特例为：（1）时,利用累加法，将，+,+…,各式相加，得+(n2)(2)时,;利用累乘法,（3）时,解题方法：利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列法1：(常数变易法)设则，从而亦

3、即数列是以为首项，公比为p的等比数列，从而可得：，法2：利用成等比数列求出，再利用迭代或迭另法求出法3：由，则可得,从而又可得即52求学网教育论坛免费学习资料（4）时,两边同除以例2：数列的前n项和为，且，＝，求数列的通项公式.例3：数列中，且，，求数列的通项公式.[提示][归纳]：类型II:分式线性递推数列:练习：1.已知数列中，是其前项和，并且，⑴设数列，求证：数列是等比数列；⑵设数列，求证：数列是等差数列；⑶求数列的通项公式及前项和。分析：由于{b}和{c}中的项都和{a}中的项有关，{a}中又有S=4a+2，可由S-S作切入点探索解题的途径．解：(1)由S=4a，S=4a+2，

4、两式相减，得S-S=4(a-a)，即a=4a-4a．(根据b的构造，如何把该式表示成b与b的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练)a-2a=2(a-2a)，又b=a-2a，所以b=2b①已知S=4a+2，a=1，a+a=4a+2，解得a=5，b=a-2a=3②由①和②得，数列{b}是首项为3，公比为2的等比数列，故b=3·2．当n≥2时，S=4a+2=2(3n-4)+2；当n=1时，S=a=1也适合上式．综上可知，所求的求和公式为S=2(3n-4)+2．说明：52求学网教育论坛免费学习资料1．本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项与前项和。解

5、决本题的关键在于由条件得出递推公式。2．解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用．练习：2.设二次方程x-x+1=0(n∈N)有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3．(1)试用表示a；例9．数列中，且满足⑴求数列的通项公式；⑵设，求；⑶设=，是否存在最大的整数，使得对任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。解：（1）由题意，，为等差数列，设公差为，由题意得，.（2）若，52求学网教育论坛免费学习资料时，故（3）若对任意成立，即对任意成立，的最小值是，的最大整数值是7。即存在最大整数使对任意，均有说明：本例复习数列

6、通项，数列求和以及有关数列与不等式构建新数列巧解递推数列竞赛题递推数列是国内外数学竞赛命题的“热点”之一，由于题目灵活多变，答题难度较大。本文利用构建新数列的统一方法解答此类问题，基本思路是根据题设提供的信息，构建新的数列，建立新数列与原数列对应项之间的关系，然后通过研究新数列达到问题解决之目的。其中，怎样构造新数列是答题关键。1求通项求通项是递推数列竞赛题的常见题型，这类问题可通过构建新数列进行代换，使递推关系式简化，这样就把原数列变形转化为等差数列、等比数列和线性数列等容易处理的数列，使问题由难变易，所用的即换元和化归的思想。例1、数列中，，。求。（1981年第22届IMO预选题）

7、分析本题的难点是已知递推关系式中的较难处理，可构建新数列，令，这样就巧妙地去掉了根式，便于化简变形。52求学网教育论坛免费学习资料解：构建新数列，使则，，即化简得，即数列是以2为首项，为公比的等比数列。即2证明不等式这类题一般先通过构建新数列求出通项，然后证明不等式或者对递推关系式先进行巧妙变形后再构建新数列，然后根据已经简化的新数列满足的关系式证明不等式。例2、设，，求证：。（1990年匈牙利数学奥林匹克试题）分析利用待证的不等式中含有及递推