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《求递推数列通项公式的十种策略例析(高考)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、求递推数列通项公式的十种策略例析递推数列的题型多样，求递推数列的通项公式的方法也非常灵活，往往可以通过适当的策略将问题化归为等羌数列或等比数列问题加以解决，亦可采用不完全归纳法的方法，由特殊情形推导出一般情形，进而用数V归纳法加以证明，因而求递推数列的通项公式问题成为了肓考命题中颇受青睐的考查内容。笔者试给出求递推数列通项公式的十种方法策略，它们是：公式法、累加法、累乘法、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法、不动点法、特征根的方法。仔细辨析递推关系式的特征,准确选择恰当的方法,是迅速求出通项公式的关键。一、利用公式法求通项公式例1已知数列％｝满足an+1
2、=2an+3-2n,如=2，求数列｛%｝的通项公式。解：an+1=2an+3-2n两边除以2n+,,得冲=虹+?,贝q冲一虫l=2n+,2n22n+12n2故数列｛虫4是以^-=-=1为首，以3为公差的等差数列，山等差数列的通项公式，得2n2122牛=1+(n-1/,所以数列｛an｝的通项公式为an=(-n-丄)2"。评注：本题解题的关键是把递推关系式an+I=2an+3-2n转化为叫-业=3，说明数n十I°2"*2°2列｛业｝是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出业=l+(n-1)2,进而求出数2n2n2列｛%｝的通项公式。二、利用累加法求通项公式例2已知数列｛
3、a“｝满足an+1=an+2n+l,a,=1,求数列｛a*｝的通项公式。解：由an+
4、=an+2n+1an+i-an=2n+1=[2(n-1)+1]+[2(n一2)+1]+…+(2・2+1)+(2・1+1)+1=2[(n一1)+(n-2)+…+2+1]+(n-1)+1=2・鱼』+5-1)+12所以数列｛an｝的通项公式为an=n2评注：本题解题的关键是把递推关系式an+1=an+2n+l转化为an+I-an=2n+1,进而求出(a“+-an_2)+•••+(a3-a2)+(a2-aj+ai,即得数列｛a“｝的通项公式。例3已知数列&｝满足an+1=an+2-3n+l,a
5、1=3,求数列｛a“｝的通项公式。解：由an+1=an+2-3n+1得an+1-an=2.3n+l则a“=(an-an_1)+(an_1-an_2)+•••+(a3-a2)+(a2-a1)+a1=(2-3n_l+1)+(2-3n_2+l)+--«4-(2-32+1)+(2-31+1)+3=2(3n_1+3n_2+•••+32+3】)+(n-l)+33_3n所以a.=2--—+n+2=3n+n-ln1-3评注：本题解题的关键是把递推关系式an+1=an+2-3n+1转化为an+1-an=2-3n+1,进而求出(an—an_j)+(an_!—an_2)(a3—a2)+(a2
6、-)+a〕,即得数列｛a=｝的通项公式。例4已知数列｛a“｝满足an+1=3an+2-3n+1,a,=3,求数列｛%｝的通项公式。解：an+1=3an+2-3n4-1两边除以3n+1,Wan+i_an.2(1—**T，on+1onqon+la“+i3n3n+1故*a—])+(*n-ian-lan-lan9kzan9anaai_Jlz3)+(亠色——)+…+(竺——)+3“丿311-332313,+丄)+已斗)+(?+33n33n_,33n_21、21、3”+(§+严3+(丄+丄+斗+丄+・・33n3n3n_,3n_2・+*)+】丄.（1_3「打因此仏=如卫+_3n31-
7、3+宀丄—丄322-3n木题解题的关键是把递推关系式=3an+2-3n+1转化为a“+ian3n+1+（¥一肆）+丑，即得数列｛肆｝的通项公式，最后再求数列｛“｝的通项公式。3333进而求出鲁-器）+（器-器"（圣-器）+…三、利用累乘法求通项公式例5已知数列｛a“｝满足an+1=2（n+l）5n-an,a】=3,求数列｛a“｝的通项公式。解：因为an+1=2(n+l)5n-an,a.=3,所以an#0,则也=2(n+l)5”,4则a“=亠an-lan—・—・a]a2ai=[2(n-l+l)5n_1]-[2(n-2+l)5n_2]---[2-(2+l)-52]-[2-(
8、l+l)-5I]-3•[n•(n—1)3•2]•5(n-l)+(n-2)+…+2+1•3所以数列｛a“｝的通项公式为n(n-l)an=3-2n_,-5^--n!评注：本题解题的关键是把递推关系an+1=2(n4-l)5n-an转化为也=25+1)5",进而an求出-±n_.±-L..…玉电・a],即得数列｛a“｝的通项公式。an-lan-2a2ai例6(2004年全国15题)已知数列｛a」满足a】=1,an=aj+2a2+3a3+•••+(n-l)+(f2),则｛钉的通项a严巴吐£2解：因为an=3]+2a2+3a3H(n—l)an_j(
