高等数学下典型例题参考解答·何先枝.pdf

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1、合肥工业大学何先枝2015考研数学基础教程（高数下）第1页合肥工业大学何先枝第五章多元函数微分学典型例题----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------题型1多元函数微分学的基本概念及其关系-------------------------------------------------------------------

2、---------------------------------------------------12sin(xy),xy0,【例5.1】设f(x,y)xy则fx(0,1)（）。0,xy0,（A）0（B）1（C）2（D）不存在〖答案〗（B）〖解〗由偏导数定义可得12sin(x1)02f(x,1)f(0,1)x1sinxf(0,1)limlimlim1。■x2x0xx0xx0x-------------------------------------------

3、---------------------------------------------------------------------------【例5.2】二元函数zf(x,y)在点(x,y)处存在一阶连续偏导数是它在此点处可微的00（）。（A）充分条件（B）必要条件（C）充要条件（D）以上都不是〖答案〗（A）〖解〗由多元函数微分学重要概念间关系可得“zf(x,y)在点(x,y)处存在一阶连续偏导数”是“zf(x,y)在点(x,y)处可0000微”的充分条件，不是必要条件。22122(xy

4、)sin,xy0;22反例：f(x,y)xy在点(0,0)处可微，但偏导不连续。0,x2y20〖解〗（ⅰ）、连续：由无穷小性质[无穷小与有界函数积仍为无穷小]知：221limf(x,y)lim(xy)sin0f(0,0)，22x0x0xyy0y0故f(x,y)在点(0,0)处连续。（ⅱ）、可导：由偏导数定义知21xsin0f(x,0)f(0,0)x21f(0,0)limlimlimxsin0，x2x0xx0xx0x由对称性知：f(0,0)0，故函数f(

5、x,y)在点(0,0)处可导。y（ⅲ）、可微：第2页合肥工业大学何先枝f(x,y)f(0,0)221∵limlimxysin0，x0x2y2x0x2y2y0y0∴由可微定义知：函数f(x,y)在点(0,0)处可微。（ⅳ）、偏导不连续：12212x222xsin(xy)cos,xy02222222∵fx(x,y)xyxy(xy)0,x2y20111222xsin2cos,xy0222222xyxyxy，0,x2y2011注意到

6、limcos不存在，x0x2y2x2y2y0∴limf(x,y)不存在，从而，函数f(x,y)在点(0,0)处不连续。同理f(x,y)在点(0,0)xxyx0y0处不连续。■----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------xy22,xy0,22【例5.3】二元函数f(x,y)xy在点(0,0)处（

7、）。0,x2y20（A）连续，偏导数存在（B）连续，偏导数不存在（C）不连续，偏导数存在（D）不连续，偏导数不存在〖答案〗（C）〖解〗取两条不同极限路径可得2x1limf(x,y)lim00，limf(x,y)lim0，22x0x0x0x0xx2y0yx故二重极限limf(x,y)不存在，从而f(x,y)在点(0,0)处不连续。x0y0由偏导数定义可得x00f(x,0)f(0,0）x202f(0,0)limlim0，xx0xx0x同理（或由对称性）可得

8、：f(0,0)0。■y----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------3xy22,xy0,【例5.4】设f(x,y)62xy0,x2y20，第3页合肥工业大学何先枝（1）证明limf(x,y)不存在；（