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1、2012级《高等数学Ⅱ》补充题参考解答习题8-1����5（补充题1）、从点A(2,–1,7)沿向量a=8i+9j−12k方向取长为34的线段AB，求点B的坐标。��������解设点B的坐标为(xyz,,)，则AB=(x−2,y+1,z−7)，且AB=λa，即x−=28,λy+=19,λz−=−712λ����222又由已知AB=34，∴(8)λ+(9)λ+−(12)λ=34，解得λ=2所以点B的坐标为(18,17,17−)习题8-2������5（补充题2）、设a=(3,5,2)−,b=(2,1,4)，问λ与µ有怎样的关系能使λa+µb与z轴垂直？������解：∵λa+µb
2、=(3λ+2,5µλ+µ,2−λ+4µ)，在z轴上取单位向量k=(0,0,1)，����������由已知λa+µb与z轴垂直，所以(λa+µb)⋅k=0即(3λ+2µ)×+0(5λ+µ)×+−0(2λ+4µ)×=10��∴−2λ+4µ=0，即λ=2µ能使λa+µb与z轴垂直习题8-4224（补充题）求曲线x+z+3yz−2x+3z−=30,y−+=z10在zox平面上的投影方程。22⎧x+z+3yz−2x+3z−=30解由⎨消去y，得到母线平行于y轴的投影柱面方程：⎩y−+=z1022x+4z−2x−=3022⎧x+4z−2x−=30从而所求投影曲线方程为⎨⎩y=0222⎧⎪x
3、+2y+4z=15（补充题）已知空间曲线C：⎨，①求以C为准线而母线平行于y轴的222⎪⎩x+y=z柱面方程；②求出C在xoy面上的投影方程。222⎧⎪x+2y+4z=122解①由⎨消去y得：−x+6z=1即为所求柱面方程222⎪⎩x+y=z222⎧⎪x+2y+4z=1②由消去22⎨z得到投影柱面方程：5x+6y=1222⎪⎩x+y=z22⎧5x+6y=1从而所求投影曲线方程为⎨⎩z=0习题8-56（补充题）求通过点P(2,–1,–1)，Q(1,2,3)且垂直于平面2x+3y−5z+=60的平面方程。������������解设所求平面的法向量为n，由已知n⊥PQ=−(1,3,4
4、,)n⊥n=(2,3,5−)，1�����ijk��������∵PQn×=−134=−(27,3,9)−，取n=(9,1,3)−123−5故所求平面方程为9(x−2)(−y+1)3(+z+1)=0，即9x−+y3z−16=0习题8-68（补充题）求过点(-3,2,5)且与两个平面2x−2y−5z=1和x−4z=3的交线平行的直线方程。���������解：设所求直线的方向向量s，由已知s⊥n=(2,1,5,−−)s⊥n=(1,0,4−)12�����ijk�������取s=n×n=2−1−=5(4,3,1)1210−4x+3y−2z−5又直线过点(−3,2,5)，故所求直线方
5、程为==431复习题八1（补充题）在y轴上求与点A(1,3,7)−和点B(5,7,5)−等距离的点。解设y轴上点为M(0,,0y)，由已知MA=MB222222∴1+(y+3)+7=5+(y−7)+−(5)⇒y=2故所求点为M(0,2,0)⎧x=−+t2⎪（6补充题）求过点M(1,2,1)−且与直线⎨y=3t−4垂直的平面方程。⎪⎩z=−t1����解：设所求平面的法向量为n，由已知n⊥L������∴n//s=−(1,3,1)，取n=−(1,3,1)故所求的平面方程为−⋅1(x−1)3(+y−2)(+z+1)=0即x−3y−+=z40x−1y−2z−3x+2y−1z7（补充题）
6、已知直线L：==和L：==，求经过L且平行于L的1212121211平面方程。������解：设所求平面的法向量为n，由已知n//Ln，//L12�����ijk������������������∴n⊥s=(1,2,1)，n⊥s=(211)，，，取n=s×s=121=(1,1,3)−1212211所求的平面方程为(x−1)(+y−2)3(−z−3)=0，即x+−y3z+=60习题9-12、求下列极限：2222−(x+y)（4）（补充题）lim(x+ye)x→∞y→∞∞22()令ux=+y∞22−(x2+y2)−uu1解：lim(x+y)⋅e=====limue⋅=lim=lim
7、=0uux→∞u→+∞u→+∞eu→+∞ey→∞2222x+y−sinx+y（5）（补充题）lim(,)xy→(0,0)223(x+y)2222令u=x2+y2x+y−sinx+yu−sinu1cos−usinu1解：lim======lim=lim=lim=(,)xy→(0,0)(x2+y23)u→0u3u→03u2u→06u6习题9-21、求下列函数的偏导数：;2y2∂z2∂z（4）（补充题）设z=+ϕ(xy)，其中ϕ（x)可导，证明x+y=xy。3x∂x∂y2∂zy∂z2y
