Mathematica 之 “数值积分方法”.ppt

《Mathematica 之 “数值积分方法”.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第4节数值积分方法关于积分，有Newton-Leibniz公式但是，在很多情况下，还是要数值积分：1、函数有离散数据组成2、F(x)求不出3、F(x)非常复杂定义数值积分如下：是离散点上的函数值的线性组合称为积分系数，与f(x)无关，与积分区间和积分点有关4.1数值积分的概念数值积分积分:无限求和有限求和被积函数在有限个点上取样求积法则（quadraturerule）n-点求积规则(通过n点的计算):4.2牛顿－柯特斯求积法则对于n点情况，使用n-1阶多项式插值，将得到n点求积法则。在区间[a,b]上等间距的节

2、点xi上进行多项式插值，将得到牛顿－柯特斯（Newton-Cotes）求积法则。中点法则一点求积法则中点法则:梯形法则两点求积法则梯形法则:可得两点牛顿插值多项式：给定:梯形法则的说明：梯形法则Simpson’s法则三点求积法则Simpson’s法则:Simpson’s法则按牛顿插值:设,可得三点牛顿插值多项式：Simpson’s法则例4.1求下面积分近似:正确的四舍五入结果:0.746842数值结果:几种计算结果的比较：4.2.1误差估计通过泰勒级数展开的方法进行估计:从a到b对x积分，再将m=(a+b)/

3、2代入得(x偶次幂项为零):在中点附近展开:事实上，由积分中值定理可求得梯形求积公式的截断误差：梯形求积公式的截断误差由积分中值定理可求得辛普生求积公式的截断误差：辛普生求积公式的截断误差数值积分及误差计算举例例题：试梯形公式计算积分的近似值，并估计截断误差。解：用梯形公式计算：估计截断误差为：4.3自适应求积在计算一个积分时，使用任意高阶求积法则去获得一个任意高的精度，并不都是合适的。4.3.1复合求积法则应用分段插值在给定积分范围上导出复合求积法则。将区间划分为n段:在每个小区间[xi-1,xi]（i=1,…,n

4、）上应用求积法则，将得到复化求积法则。复化中点法则与中点法则相联系的误差估计与子区间[xi-1,xi]相联系的误差是:在区间[a,b]上总的误差为:复化梯形法则误差做等距节点复化梯形积分公式与梯形法则相联系的误差的估计在子区间[xi-1,xi]上的误差:在区间[a,b]上的总误差:误差做等距节点，复化辛普生积分公式复化辛普生积分公式的误差估计在子区间[xi-1,xi]上的误差:在区间[a,b]上总的误差:解：=3.138988494运算量基本相同=3.141592502数值积分举例例：计算其中其中4.3.2自适应求积带

5、有误差估计的复化求积法则可以用于产生一个自动求积程序：通过继续分割子区间，直到误差估计达到要求的数值之下。函数变化有急有缓，为了照顾变化剧烈部分的误差，我们需要加密格点。对于变化缓慢的部分，加密格点会造成计算的浪费。建立一种算法，可以自动在变化剧烈的地方加密格点计算，而变化缓慢的地方，则取稀疏的格点。自适应求积例如：在整个最初区间上使用求积法则;如果误差要求达不到，将区间二分割，在每一个子区间上应用求积法则。如果两个子段上的误差之和仍达不到要求，将误差最大的区间进一步二分割，在每一个子区间上应用求积法则。直到误差要求最

6、终达到。自适应求积在被积函数变化最迅速的区域取样最密集。这样一种自适应策略构成了大多数积分子程序的基础。①先看看事后误差估计（不同的误差表达式，事后误差估计式是不同的）以复化梯形公式为例n等分区间2n等分区间近似有：类似，复化Simpsom公式②自适应计算记为复化1次、2次的Simpson公式控制求自适应数值积分计算1.用区间逐次二分的梯形公式计算要求误差不超过提示：利用，。作业42.试使用辛普生公式计算积分并估计截断误差。的近似值，3.已知以下9组坐标{x，f（x）}数据给出了ｆ与ｘ的函数关系{{0.,0.},{0.

7、125,0.124675},{0.25,0.247404},{0.375,0.366273},{0.5,0.479426},{0.625,0.585097},{0.75,0.681639},{0.875,0.767544},{1.,0.841471}}，用辛普生公式求　　　　　　数值积分结果。使用插值命令求上述数据的插值函数F(x)，并求插值函数在区间[0,1]上的积分值。作业4