2020版高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.3两个向量的数量积学案含解析新人教B版选修2-1.docx

《2020版高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.3两个向量的数量积学案含解析新人教B版选修2-1.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、3.1.3　两个向量的数量积学习目标　1.掌握空间向量夹角概念及表示方法.2.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律.3.掌握两个向量的数量积的主要用途，能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直．知识点一　两个向量的夹角1．定义：已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉．2．范围：〈a，b〉∈[0，π]．特别地：当〈a，b〉＝时，a⊥b.知识点二　两个向量的数量积1．定义：已知两个非零向量a，b，则

2、a

3、

4、b

5、cos〈

6、a，b〉叫做a，b的数量积(或内积)，记作a·b.规定：零向量与任何向量的数量积都是0.2．数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律(λa)·b＝λ(a·b)交换律a·b＝b·a分配律(a＋b)·c＝a·c＋b·c注意：空间向量的数量积不满足结合律。知识点三　两个向量的数量积的性质两个向量数量积的性质①若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0②若a与b同向，则a·b＝

7、a

8、·

9、b

10、；若反向，则a·b＝－

11、a

12、·

13、b

14、特别地，a·a＝

15、a

16、2或

17、a

18、＝③若θ为a，b的夹角，则cosθ＝④

19、a·b

20、≤

21、

22、a

23、·

24、b

25、1．向量与的夹角等于向量与的夹角．(　×　)2．对于非零向量b，由a·b＝b·c，可得a＝c.(　×　)3．对于向量a，b，c，有(a·b)·c＝a·(b·c)．(　×　)4．若非零向量a，b为共线且同向的向量，则a·b＝

26、a

27、

28、b

29、.(　√　)5．对任意向量a，b，满足

30、a·b

31、≤

32、a

33、

34、b

35、.(　√　)题型一　数量积的计算例1　如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：(1)·；(2)·；(3)·；(4)·.考点　空间向量数量积的概念与性质题点　用

36、定义求数量积解　(1)·＝·＝

37、

38、

39、

40、·cos〈，〉＝cos60°＝.(2)·＝·＝

41、

42、2＝.(3)·＝·＝

43、

44、·

45、

46、cos〈，〉＝cos120°＝－.(4)·＝·(－)＝·－·＝

47、

48、

49、

50、cos〈，〉－

51、

52、

53、

54、cos〈，〉＝cos60°－cos60°＝0.反思感悟　(1)已知a，b的模及a与b的夹角，直接代入数量积公式计算．(2)如果要求的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用a·a＝

55、a

56、2及数量积公式进行计算．跟踪训练1　已知长方体ABCD-A1B1C1D

57、1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点．试计算：(1)·；(2)·；(3)·.考点　空间向量数量积的概念与性质题点　用定义求数量积解　如图，设＝a，＝b，＝c，则

58、a

59、＝

60、c

61、＝2，

62、b

63、＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.(1)·＝b·＝

64、b

65、2＝42＝16.(2)·＝·(a＋c)＝

66、c

67、2－

68、a

69、2＝22－22＝0.(3)·＝·＝(－a＋b＋c)·＝－

70、a

71、2＋

72、b

73、2＝2.题型二　利用数量积证明垂直问题例2　如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行

74、四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.求证：PA⊥BD.考点　空间向量数量积的应用题点　数量积的综合应用证明　由底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，知DA⊥BD，则·＝0.由PD⊥底面ABCD，知PD⊥BD，则·＝0.又＝＋，所以·＝(＋)·＝·＋·＝0，即PA⊥BD.反思感悟　(1)由数量积的性质a⊥b⇔a·b＝0可知，要证两直线垂直，可构造与两直线分别平行的向量(a，b是非零向量)，只要证明这两个向量的数量积为0即可．(2)用向量法证明线面(面面)垂直

75、，离不开线面(面面)垂直的判定定理，需将线面(面面)垂直转化为线线垂直，然后利用向量法证明线线垂直即可．跟踪训练2　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD.考点　空间向量数量积的应用题点　数量积的综合应用证明　设＝a，＝b，＝c，则a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0，

76、a

77、＝

78、b

79、＝

80、c

81、.∵＝＋＝＋(＋)＝c＋a＋b，＝－＝b－a，＝＋＝(＋)＋＝a＋b－c，∴·＝·(b－a)＝c·b－c·a＋a·b－a2＋b2－b·a＝(

82、b2－a2)＝(

83、b

84、2－

85、a

86、2)＝0.于是⊥，即A1O⊥BD.同理可证⊥，即A1O⊥OG.又∵OG∩BD＝O，OG⊂平面GBD，BD⊂平面GBD，∴A1O⊥平面GBD.题型三　数量积求解空间角与距离命题角度1　求解角度问题例3　在空间四边形OABC中，连接AC，OB，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求向量与所成角的余弦值．考点　空间向量数量积的应用题点　利用数量积求角解　∵＝－，∴·＝·－·＝

87、

88、

89、

90、·cos〈，〉－

91、

92、