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时间:2019-11-15
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1、大题精做10圆锥曲线:定点、定值问题[2019·甘肃联考]已知椭圆的右焦点为,上顶点为,直线的斜率为,且原点到直线的距离为.(1)求椭圆的标准方程;(2)若不经过点的直线与椭圆交于,两点,且与圆相切.试探究的周长是否为定值,若是,求出定值;若不是,请说明理由.【答案】(1);(2).【解析】(1)由题可知,,,则,直线的方程为,即,所以,解得,,又,所以椭圆的标准方程为.(2)因为直线与圆相切,所以,即.设,,联立,得,所以,,,所以.又,所以.因为,同理.所以,所以的周长是,则的周长为定值.1.[2019·安庆期末]已知椭圆过点,焦距长,过点的直线交椭圆于,两点.(1)求椭
2、圆的方程;(2)已知点,求证:为定值.2.[2019·东莞期末]已知椭圆的中心在坐标原点,左右焦点分别为和,且椭圆经过点.(1)求椭圆的标准方程;(2)过椭圆的右顶点作两条相互垂直的直线,,分别与椭圆交于点,(均异于点),求证:直线过定点,并求出该定点的坐标.3.[2019·漳州一模]已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,且椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合,离心率为.(1)求椭圆的标准方程;(2)过椭圆的右焦点且斜率存在的直线交椭圆于,两点,线段的垂直平分线交轴于点,证明:为定值.1.【答案】(1);(2).【解析】(1)由条件焦距为,知,从而将代入方程,可得,,故椭圆方程为
3、.(2)当直线的斜率不为0时,设直线交椭圆于,,由,可得,,,,,,化简得,当直线斜率为0时,,,,即证为定值,且为.2.【答案】(1);(2)见解析.【解析】(1)设椭圆的标准方程为,,,∴,∴,∴,所以椭圆的标准方程为.(2)①直线斜率存在,设直线,,,联立方程,消去得,,,,又,由,得,即,∴,∴,∴.解得,,且均满足,当时,直线的方程为,直线过定点,与已知矛盾;当时,直线的方程为,直线过定点.②由椭圆的对称性所得,当直线,的倾斜角分别为,,易得直线,,直线,分别与椭圆交于点,,此时直线斜率不存在,也过定点,综上所述,直线恒过定点.3.【答案】(1);(2)详见解析.【
4、解析】解法一:(1)设椭圆的标准方程为,由抛物线的焦点为,得,①又,②由①②及,解得,所以椭圆的标准方程为.(2)依题意设直线的方程为,设点,,当时,联立方程,得,,所以,,的中点坐标为,的垂直平分线为,令,得,,又,所以,当时,点与原点重合,则,,所以;综上所述,为定值.解法二:(1)同解法一.(2)依题意,当直线的斜率不为0时,设直线的方程为,设点,,联立方程,得,所以,,,,,所以的中点坐标为,的垂直平分线为,令,得,所以,所以;当直线的斜率为0时,点与原点重合,则,,所以;综上所述,为定值.
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