A1-1函数.ppt

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1、函数概念几类常见函数函数特性及图形初等函数第一章函数极限连续§1.1函数1一、什么是高等数学?初等数学—研究对象为常量,以静止观点研究问题.高等数学—研究对象为变量,运动和辩证法进入了数学.数学中的转折点是笛卡儿的变数.有了变数,运动进入了数学,有了变数，辩证法进入了数学,有了变数,微分和积分也就立刻成为必要的了.恩格斯2圆内接正n边形Or)掌握极限的思维方式1）计算圆的周长34abxyo3.如何计算曲边梯形面积？曲边梯形面积为54、无穷级数概念6元素a属于集合M,记作元素a不属于集合M,记作集合1.定义及表示法定义1.具有某种特定性质的事物的总体称为集合.组成

2、集合的事物称为元素.不含任何元素的集合称为空集,记作.(或).注:M为数集表示M中排除0的集;表示M中排除0与负数的集.7邻域:8定义.设X,Y是两个非空集合,若存在一个对应规则f,使得有唯一确定的与之对应,则称f为从X到Y的映射,记作元素y称为元素x在映射f下的像,记作元素x称为元素y在映射f下的原像.集合X称为映射f的定义域;Y的子集称为f的值域.注意:1)映射的三要素—定义域,对应规则,值域.2)元素x的像y是唯一的,但y的原像不一定唯一.9引例2.引例3.(点集)(点集)向y轴投影10对映射若,则称f为满射;若有则称f为单射;若f既是满射又是单射,则称

3、f为双射或一一映射.引例2,3引例2引例2112.逆映射与复合映射(1)逆映射的定义定义:若映射为单射,则存在一新映射使习惯上,的逆映射记成例如,映射其逆映射为其中称此映射为f的逆映射.12(2)复合映射手电筒D引例.复合映射13定义.则当由上述映射链可定义由D到Y的复设有映射链记作合映射,时,或注意:构成复合映射的条件不可少.以上定义也可推广到多个映射的情形.14定义域、函数函数定义.设数集则称映射为定义在D上的函数,记为f(D)称为值域函数图形:自变量因变量15(对应规则)(值域)(定义域)例如,反正弦主值定义域对应规律的表示方法:解析法、图象法、列表法使表

4、达式及实际问题都有意义的自变量集合.定义域值域又如,绝对值函数定义域值域16函数类别：隐函数F(x,y)=0参量函数分段函数单值函数多值函数基本初等函数（幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数）.17例1设f(x)的定义域[0，1]，求(1)f(x+a)+f(x-a)(a>0)的定义域；(2)f(lnx)的定义域。解:(1)则:若a>1/2，定义域为空集;若a<1/2，定义域为[a,1-a];(2)0≤lnx≤1,1≤x≤e为定义域。x应取在a≤x≤1-a,而a≤1-a18例2判断下列几对函数是否相等.(1)f(x)=2lnx,φ(x)=lnx2;(2

5、)f(x)=x,φ(x)=

6、x

7、;(3)f(x)=sin2x+cos2x,φ(x)=1.解：f(x)的定义域为，φ(x)的定义域为所以它们不相等。解：f(x)与φ(x)的对应规律不同，所以是不同的函数。解：f(x)与φ(x)的对应规律相同，定义域也相同，所以f(x)=φ(x)。19例3.已知函数求及解:函数无定义并写出定义域及值域.定义域值域20例4解故212.函数的几种特性设函数且有区间(1)有界性使称使称说明:还可定义有上界、有下界、无界(2)单调性为有界函数.在I上有界.使若对任意正数M,均存在则称f(x)无界.称为有上界称为有下界当时,称为I上的称为I上

8、的单调增函数;单调减函数.22(3)奇偶性且有若则称f(x)为偶函数;若则称f(x)为奇函数.说明:若在x=0有定义,为奇函数时,则当必有例如,偶函数双曲余弦记23且例证明证:令则由消去得时其中a,b,c为常数,且为奇函数.为奇函数.设24例1判断函数的奇偶性.解：∴f(x)是奇函数.例2设f(x)在R上定义，证明f(x)可分解为一个奇函数与一个偶函数的和。证明：设显然g(x)是偶函数，h(x)是奇函数,而故命题的证.25(4)周期性且则称为周期函数,若称l为周期(一般指最小正周期).周期为周期为注:周期函数不一定存在最小正周期.例如,常量函数狄里克雷函数x为

9、有理数x为无理数262.设函数的图形与均对称,求证是周期函数.证:由的对称性知于是故是周期函数,周期为273.反函数与复合函数(1)反函数的概念及性质若函数为单射,则存在逆映射习惯上,的反函数记成称此映射为f的反函数.其反函数(减)(减).1)y＝f(x)单调递增且也单调递增性质:282)函数与其反函数的图形关于直线对称.例如,对数函数互为反函数,它们都单调递增,其图形关于直线对称.指数函数29双曲函数与反双曲函数奇函数.偶函数.1.双曲函数30奇函数,有界函数,31双曲函数常用公式322.反双曲函数奇函数,3334奇函数,35复合函数则设有函数链称为由①,②确

10、定的复合函数,①—复合映