2、b,∴ab≤;b2+c2≥2bc,∴bc≤1;c2+a2≥2ac,∴ac≤1得出ab+bc+ca≤是错误的,因为等号不同时成立,取不到“=”.正确的解法:由已知,得a2=1-b2,c2=2-b2.又∵c2+a2=2,∴3-2b2=2.∴b2=,a2=,c2=.∴ab+bc+ca=ab+c(a+b)的取值分别为±或±综上,ab+bc+ca的最小值为.答案:B4.若a+b+c=0,a>b>c,则有()A.ab>acB.ac>bcC.ab>bcD.以上皆错解析:∵a+b+c=0,a>b>c,∴a+b+c0.∴由b>c,得ab>ac.∴A正确.又∵a+b
3、+c>c+c+c=3c,∴c<0.则由a>b,得ac0,且x2y=2,则xy+x2的最小值为()A.1B.2C.3D.4解析:∵xy>0,由xy+x2=≥=3,知最小值为3,当且仅当
4、=x2时等号成立.∵xy>0,∴x==1时,取“=”.答案:C7.当00,cosx>0.∴f(x)≥=4.答案:C8.设a>b>c,n∈N*,且+≥恒成立,则n的最大值为()A.2B.3C.4D.5解析:∵a>b>c,∴a-b>0,a-c>0,b-c>0.∴+≥,即n≤=2+恒成立.由=2,∴n≤2+2=4.答案:C我综合，我发展9.函数y=log2(x++5)(x>1)的最小值为________________.解析:∵x>1,∴x++5=(x-1)++6≥+6=8.∴y
5、=log2(x++5)≥log28=3.答案:310.已知a、b、c∈R+,则(++)(++)≥_________________.解析:∵a、b、c∈R+,∴(++)(++)≥=9.答案:911.已知x∈R+,有不等式x+≥2,x+=++≥3…,由此启发我们可以推广为x+≥n+1(n∈N*),则a=_______________.解析:由x+≥2,x+≥3,x+=4….∴a=nn,x+=n+1.答案:nn12.若记号“*”表示求两个数a与b的算术平均的运算,即a*b=,则两边均含有运算“*”和“+”且对任意3个实数a、b、c都能成立的一个等式可以是___________
6、___.解析:a+(b*c)=a+==+=(a*b)+(a*c),(a+b)*(a+c)==.答案:a+(b*c)=(a*b)+(a*c)=(a+b)*(a+c)13.已知a、b、c∈R+,且a+b+c=1,求证:++≥.分析:由已知条件a+b+c=1,而不等式中含有a+b,b+c,c+a等量.∴可将等式a+b+c=1,化为(a+b)+(b+c)+(c+a)=2进行代换.证明:∵a、b、c∈R+,且a+b+c=1,∴(a+b)+(b+c)+(c+a)=2.∴［(a+b)+(b+c)+(c+a)］［++］≥=9.∴++≥成立.14.已知a、b∈R+,且a≠b,求证:a3
7、+b3>a2b+ab2.解析:可用比较法证明,也可构造平均不等式证明.证法一:(比较法)∵a3+b3-(a2b+ab2)=a2(a-b)+b2(b-a)=(a-b)2(a+b),又∵a,b∈R+且a≠b,∴(a-b)2>0.a+b>0.∴a3+b3>a2b+ab2.证法二:(平均不等式法)∵a、b∈R+,且a≠b.∴a3+b3=［(a3+a3+b3)+(a3+b3+b3)］>()=a2b+ab2.∴a3+b3>a2b+ab2.我创新，我超越15.设a、b、c∈R+,求证:ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)≥6abc
