江苏专用2019高考数学二轮复习解答题专项练5函数与导数理含答案91.docx

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1、2019届高考数学（理科）二轮复习：满分练5.函数与导数1.设函数f(x)＝xlnx＋ax,a∈R.(1)当a＝1时,求曲线y＝f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)求函数y＝f(x)在上的最小值；(3)若g(x)＝f(x)＋ax2－(2a＋1)x,求证:a≥0是函数y＝g(x)在x∈(1,2)时单调递增的充分不必要条件.(1)解:　由f(x)＝xlnx＋ax,得f′(x)＝lnx＋a＋1.当a＝1时,f′(x)＝lnx＋2,f(1)＝1,f′(1)＝2,求得切线方程为y＝2x－1.(2)解:　令f′(x)＝0,得x＝e－(a＋1).∴当e－(a＋1)≤,即a≥0时,x∈时f′

2、(x)≥0恒成立,f(x)单调递增,此时f(x)min＝f ＝.当e－(a＋1)≥e,即a≤－2时,x∈时f′(x)≤0恒成立,f(x)单调递减,此时f(x)min＝f(e)＝ae＋e.当0,f(x)单调递增,此时f(x)min＝f(e－(a＋1))＝－e－(a＋1).(3)证明　g′(x)＝f′(x)＋ax－(2a＋1)＝lnx＋ax－a＝lnx＋a(x－1),∴当a≥0时,x∈(1,2)时,lnx>0,a(x－1)≥0,g′(x)>0恒成立,函数y＝g(x)在x

3、∈(1,2)时单调递增,充分条件成立；又当a＝－时,代入g′(x)＝lnx＋a(x－1)＝lnx－x＋.设h(x)＝g′(x)＝lnx－x＋,x∈(1,2),则h′(x)＝－＝>0(x∈(1,2))恒成立,2019届高考数学（理科）二轮复习：满分练2019届高考数学（理科）二轮复习：满分练∴当x∈(1,2)时,h(x)单调递增.又h(1)＝0,∴当x∈(1,2)时,h(x)>0恒成立.而h(x)＝g′(x),∴当x∈(1,2)时,g′(x)>0恒成立,函数y＝g(x)单调递增,∴必要条件不成立.综上,a≥0是函数y＝g(x)在x∈(1,2)时单调递增的充分不必要条件.2.已知函数f(x)

4、＝lnx＋－1,a∈R.(1)若关于x的不等式f(x)>－x＋1在[1,＋∞)上恒成立,求a的取值范围；(2)设函数g(x)＝,证明:当a≥时,g(x)在[1,e2]上不存在极值.(1)解:　由f(x)>－x＋1,得lnx＋－1>－x＋1.即a>－xlnx－x2＋2x在[1,＋∞)上恒成立.设m(x)＝－xlnx－x2＋2x,x≥1,则m′(x)＝－lnx－2x＋1.∵x∈[1,＋∞),∴－lnx≤0,－2x＋1<0.∴当x∈[1,＋∞)时,m′(x)＝－lnx－2x＋1<0.∴m(x)在[1,＋∞)上单调递减.∴当x∈[1,＋∞)时,m(x)≤m(x)max＝m(1)＝1.∴a>1,即

5、a的取值范围是(1,＋∞).(2)证明　∵g(x)＝－＋,x∈.∴g′(x)＝＋－＝.设h(x)＝2x－xlnx－2a,x∈[1,e2],则h′(x)＝2－(1＋lnx)＝1－lnx.令h′(x)＝0,得x＝e.当1≤x0；当e

6、,g(x)＝f(x)＋ax2＋bx,函数g(x)的图象在点(1,g(1))处的切线平行于x轴.(1)确定a与b的关系；(2)若a≥0,试讨论函数g(x)的单调性.解:　(1)依题意得g(x)＝lnx＋ax2＋bx,则g′(x)＝＋2ax＋b,由函数g(x)的图象在点(1,g(1))处的切线平行于x轴得,g′(1)＝1＋2a＋b＝0,∴b＝－2a－1.(2)由(1)得g′(x)＝＝.∵函数g(x)的定义域为(0,＋∞),∴当a＝0时,g′(x)＝－,由g′>0得01；若0<<1,即a>时,由g′>0得x>1或01,即0

7、g′>0得x>或0时,函数g在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增.4.已知函数f(x)＝xlnx,g(x)＝(－x2＋ax－3)ex(a为实数).(1)当a＝5时,求函数g(x)的图象在x＝1处的切线方