浙江专用高考数学复习数列与数学归纳法7.4数列求和数列的综合应用第2课时数列的综合应用讲义含解析.docx

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1、第2课时　数列的综合应用题型一　数列和解析几何的综合问题例1　(2004·浙江)已知△OBC的三个顶点坐标分别为O(0,0)，B(1,0)，C(0,2)，设P1为线段BC的中点，P2为线段CO的中点，P3为线段OP1的中点，对于每一个正整数n，Pn＋3为线段PnPn＋1的中点，令Pn的坐标为(xn，yn)，an＝yn＋yn＋1＋yn＋2.(1)求a1，a2，a3及an的值；(2)求证：yn＋4＝1－，n∈N*；(3)若记bn＝y4n＋4－y4n，n∈N*，求证：{bn}是等比数列．(1)解　因为y1＝y2＝y4＝1，y3＝，y5＝，所以a1＝a2＝a3＝2

2、，又由题意可知yn＋3＝，所以an＋1＝yn＋1＋yn＋2＋yn＋3＝yn＋1＋yn＋2＋＝yn＋yn＋1＋yn＋2＝an，所以{an}为常数列，所以an＝a1＝2，n∈N*.(2)证明　将等式yn＋yn＋1＋yn＋2＝2两边除以2得yn＋＝1.又因为yn＋4＝，所以yn＋4＝1－，n∈N*.(3)证明　因为bn＋1＝y4n＋8－y4n＋4＝－＝－(y4n＋4－y4n)＝－bn，又因为b1＝y8－y4＝－≠0，所以{bn}是首项为－，公比为－的等比数列．思维升华利用题目中曲线或直线上点的坐标之间的关系，得到数列的递推关系，然后利用数列的递推关系寻求数列通项

3、，从而求解题目．跟踪训练1　(2016·浙江)如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且

4、AnAn＋1

5、＝

6、An＋1An＋2

7、，An≠An＋2，n∈N*，

8、BnBn＋1

9、＝

10、Bn＋1Bn＋2

11、，Bn≠Bn＋2，n∈N*(P≠Q表示点P与Q不重合)．若dn＝

12、AnBn

13、，Sn为△AnBnBn＋1的面积，则(　　)A．{Sn}是等差数列B．{S}是等差数列C．{dn}是等差数列D．{d}是等差数列答案　A解析　作A1C1，A2C2，A3C3，…，AnCn垂直于直线B1Bn，垂足分别为C1，C2，C3，…，Cn，则A1C1∥A2C2∥…∥AnCn.∵

14、

15、AnAn＋1

16、＝

17、An＋1An＋2

18、，∴

19、CnCn＋1

20、＝

21、Cn＋1Cn＋2

22、.设

23、A1C1

24、＝a，

25、A2C2

26、＝b，

27、B1B2

28、＝c，则

29、A3C3

30、＝2b－a，…，

31、AnCn

32、＝(n－1)b－(n－2)a(n≥3)，∴Sn＝c[(n－1)b－(n－2)a]＝c[(b－a)n＋(2a－b)]，∴Sn＋1－Sn＝c[(b－a)(n＋1)＋(2a－b)－(b－a)n－(2a－b)]＝c(b－a)，∴数列{Sn}是等差数列．题型二　数列与不等式的综合问题命题点1　可求通项的裂项放缩例2已知数列满足＝＋且a1＝4(n∈N*)．(1)求数列的通项公式；(2)设bn＝

33、a－an，且Sn为的前n项和，证明：12≤Sn<15.(1)解　由＝＋得，－1＝，由a1＝4得－1＝－，所以数列是首项为－，公比为的等比数列．所以＝n－1＝－n－1，即an＝.(2)证明　bn＝a－an＝，又Sn＋1－Sn＝bn＋1＝>0，故Sn是关于n的递增数列，故Sn≥S1＝b1＝a－a1＝12.当k≥2时，bk＝a－ak＝<＝<＝3，故当n≥2时，Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝12＋b2＋b3＋…＋bn<12＋3＝15－<15.又n＝1时，S1＝12<15，综上有12≤Sn<15.命题点2　可求通项构造放缩例3　(2018·湖州调研)已知数列{a

34、n}满足a1＝，an＋1＝，n∈N*.(1)求a2；(2)求的通项公式；(3)设{an}的前n项的和为Sn，求证：≤Sn<.(1)解　由条件可知a2＝＝.(2)解　由an＋1＝，得＝·－，即－1＝，又－1＝≠0，所以是首项为，公比为的等比数列，则－1＝×n－1＝n，所以＝n＋1.(3)证明　由(2)可得an＝≥＝·n－1.所以Sn≥＋·1＋…＋·n－1＝，故Sn≥成立．另一方面an＝<＝n，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an<＋＋3＋4＋…＋n＝＋－·n－2<＋<，n≥3，又S1＝<，S2＝<，因此Sn<，n∈N*.所以≤Sn<.命题点3　不可求通项裂项放缩

35、例4(2018·杭州模拟)设数列{an}满足a1＝，an＋1＝an＋(n∈N*)．(1)证明：an0，所以an＋1＝an＋>an，即ak＋1＝ak＋－>3－＝3－＝3－＝>1，所以an<1.又a1＝<1，a2＝<1，所以an<1(n∈N*)，所以an0，所以an＋1＝an＋>an，由题意，得＝＝＝－.则－＝，即－＝，－＝，…，－＝，累加得，－＝＋＋…＋<＋＋…

36、＋<1＋＋…＋＝2－，即3－<2－，所以an＋1<1.所以an