2018版高考数学文北师大版大一轮复习讲义第五章平面向量第五章5.3(1).docx

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1、1．向量的夹角已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角．2．平面向量的数量积定义已知两个向量a和b，它们的夹角为θ，我们把

2、a

3、

4、b

5、·cosθ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b几何意义a与b的数量积等于a的长度

6、a

7、与b在a方向上射影

8、b

9、cosθ的乘积，或b的长度

10、b

11、与a在b方向上射影

12、a

13、cosθ的乘积3.平面向量数量积的性质设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则(1)e·a＝a·e＝

14、a

15、cosθ.(2)a⊥b⇔a·b＝0.(3)当a与b同向时

16、，a·b＝

17、a

18、

19、b

20、；当a与b反向时，a·b＝－

21、a

22、

23、b

24、.特别地，a·a＝

25、a

26、2或

27、a

28、＝.(4)cosθ＝.(5)

29、a·b

30、≤

31、a

32、

33、b

34、.4．平面向量数量积满足的运算律(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)；(3)a·(b＋c)＝a·b＋a·c.5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到(1)若a＝(x，y)，则

35、a

36、2＝x2＋y2或

37、a

38、＝.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离A

39、B＝

40、

41、＝.(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.(4)若a，b都是非零向量，θ是a与b的夹角，则cosθ＝＝.【知识拓展】1．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0且a，b不共线．2．平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量在另一个向量方

42、向上的射影为数量，而不是向量．(　√　)(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．(　√　)(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.(　×　)(4)(a·b)c＝a(b·c)．(　×　)(5)两个向量的夹角的范围是[0，]．(　×　)1．(教材改编)已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k等于(　　)A．－12B．6C．－6D．12答案　D解析　∵2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0，∴10＋2－k＝0，解得k

43、＝12.2．(2016·南宁质检)已知向量a与b的夹角为30°，且

44、a

45、＝1，

46、2a－b

47、＝1，则

48、b

49、等于(　　)A.B.C.D.答案　C解析　由题意可得a·b＝

50、b

51、cos30°＝

52、b

53、,4a2－4a·b＋b2＝1，即4－2

54、b

55、＋b2＝1，由此求得

56、b

57、＝，故选C.3．(2016·银川调研)若平面四边形ABCD满足＋＝0，(－)·＝0，则该四边形一定是(　　)A．直角梯形B．矩形C．菱形D．正方形答案　C解析　由＋＝0得平面四边形ABCD是平行四边形，由(－)·＝0得·＝0，故平行四边形的对角线垂直，所以该四边形一定是菱形，故选C.

58、4．(2016·北京)已知向量a＝(1，)，b＝(，1)，则a与b夹角的大小为________．答案　解析　设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝＝，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝.5．(2016·厦门模拟)设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则

59、a＋b

60、＝________.答案　解析　∵a⊥b，∴a·b＝0，即x－2＝0，∴x＝2，∴a＝(2,1)，∴a2＝5，b2＝5，∴

61、a＋b

62、＝＝＝＝.题型一　平面向量数量积的运算例1　(1)(2016·天津)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点

63、，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为(　　)A．－B.C.D.(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________；·的最大值为________．答案　(1)B　(2)1　1解析　(1)如图，由条件可知＝－，＝＋＝＋＝＋，所以·＝(－)·(＋)＝2－·－2.因为△ABC是边长为1的等边三角形，所以

64、

65、＝

66、

67、＝1，∠BAC＝60°，所以·＝－－＝.(2)方法一　以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，设E(t,0)，t∈

68、[0,1]，则＝(t，－1)，＝(0，－1)，所以·＝(t，－1)·(0，－1)＝1.因为＝(1,0)，所以·＝(t，－1)·(1,0)＝t≤1，故·的最大值为1.方法二　由图知，无论E点在哪