2018版高考数学（文）（北师大版）大一轮复习讲义 第五章　平面向量 第五章 5.4(1)

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1、1．向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0垂直问题数量积的运算性质a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b为非零向量夹角问题数量积的定义cosθ＝(θ为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量长度问题数量积的定义

2、a

3、＝＝，其中a＝(x，y)，a为非零向量(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤：平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问

4、题．2．向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)，解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题．【知识拓展】1．若G是△ABC的重心，则＋＋＝0.2．若直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，则向量(A，B)与直线l垂直，向量(－B，A)与直线l平行．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若∥，则A，B，C三点共线．(　√　)(2)若a·b＞0，则a和b的夹角为锐角；若a·b＜0，则a和b的夹角为钝角．(　×　)(3)在△ABC中，若·<0，则△ABC为钝角三角形．(　×　)(4)已知平

5、面直角坐标系内有三个定点A(－2，－1)，B(0，10)，C(8,0)，若动点P满足：＝＋t(＋)，t∈R，则点P的轨迹方程是x－y＋1＝0.(　√　)1．(教材改编)已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,4)，B(5,2)，C(－1，－4)，则该三角形为(　　)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形答案　B解析　＝(2，－2)，＝(－4，－8)，＝(－6，－6)，∴

6、

7、＝＝2，

8、

9、＝＝4，

10、

11、＝＝6，∴

12、

13、2＋

14、

15、2＝

16、

17、2，∴△ABC为直角三角形．2．已知在△ABC中，

18、

19、＝10，·＝－16，D为边BC的中点，则

20、

21、等于(　　)A

22、．6B．5C．4D．3答案　D解析　在△ABC中，由余弦定理可得，AB2＋AC2－2AB·AC·cosA＝BC2，又·＝

23、

24、·

25、

26、·cosA＝－16，所以AB2＋AC2＋32＝100，AB2＋AC2＝68.又D为边BC的中点，所以＋＝2，两边平方得4

27、

28、2＝68－32＝36，解得

29、

30、＝3，故选D.3．(2016·武汉模拟)平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足·＝4，则点P的轨迹方程是____________．答案　x＋2y－4＝0解析　由·＝4，得(x，y)·(1,2)＝4，即x＋2y＝4.4．(2016·银川模拟)已知向量a＝(c

31、osθ，sinθ)，b＝(，－1)，则

32、2a－b

33、的最大值为________．答案　4解析　设a与b夹角为α，∵

34、2a－b

35、2＝4a2－4a·b＋b2＝8－4

36、a

37、

38、b

39、cosα＝8－8cosα，∵α∈[0，π]，∴cosα∈[－1,1]，∴8－8cosα∈[0,16]，即

40、2a－b

41、2∈[0,16]，∴

42、2a－b

43、∈[0,4]．∴

44、2a－b

45、的最大值为4.5．(2016·江西八校联考)在△ABC中，＝(，)，＝(1，)，则△ABC的面积为________．答案　1－解析　∵cos∠BAC＝＝，∴sin∠BAC＝，∴S△ABC＝

46、

47、·

48、

49、·sin∠BAC＝1－

50、.题型一　向量在平面几何中的应用例1　(1)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB＝________.(2)已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)A．内心B．外心C．重心D．垂心答案　(1)　(2)C解析　(1)在平行四边形ABCD中，取AB的中点F，则＝，∴＝＝－，又∵＝＋，∴·＝(＋)·(－)＝2－·＋·－2＝

51、

52、2＋

53、

54、

55、

56、cos60°－

57、

58、2＝1＋×

59、

60、－

61、

62、2＝1.∴

63、

64、＝0，又

65、

66、≠0，∴

67、

68、＝.(2

69、)由原等式，得－＝λ(＋)，即＝λ(＋)，根据平行四边形法则，知＋是△ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量的2倍，所以点P的轨迹必过△ABC的重心．引申探究本例(2)中，若动点P满足＝＋λ，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的________________________________________________________________________．答案　内心解析　由条件，得－＝λ，即＝λ，而和分别表示平行于，的单位向量，故＋平分∠BAC，即平分∠BAC，所以点P的轨迹必过△ABC的内心．思维升华　向量与平面几何综合问题

70、的解法(1)坐标法把几何图形放在适当的