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时间:2019-10-22
《2018版高考数学(文)(北师大版)大一轮复习讲义 第五章 平面向量 第五章 5.4(1)》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、1.向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧:问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理a∥b⇔a=λb⇔x1y2-x2y1=0,其中a=(x1,y1),b=(x2,y2),b≠0垂直问题数量积的运算性质a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0,其中a=(x1,y1),b=(x2,y2),且a,b为非零向量夹角问题数量积的定义cosθ=(θ为向量a,b的夹角),其中a,b为非零向量长度问题数量积的定义
2、a
3、==,其中a=(x,y),a为非零向量(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤:平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问
4、题.2.向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具,常与函数(三角函数),解析几何结合,常通过向量的线性运算与数量积,向量的共线与垂直求解相关问题.【知识拓展】1.若G是△ABC的重心,则++=0.2.若直线l的方程为Ax+By+C=0,则向量(A,B)与直线l垂直,向量(-B,A)与直线l平行.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若∥,则A,B,C三点共线.( √ )(2)若a·b>0,则a和b的夹角为锐角;若a·b<0,则a和b的夹角为钝角.( × )(3)在△ABC中,若·<0,则△ABC为钝角三角形.( × )(4)已知平
5、面直角坐标系内有三个定点A(-2,-1),B(0,10),C(8,0),若动点P满足:=+t(+),t∈R,则点P的轨迹方程是x-y+1=0.( √ )1.(教材改编)已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,4),B(5,2),C(-1,-4),则该三角形为( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形答案 B解析 =(2,-2),=(-4,-8),=(-6,-6),∴
6、
7、==2,
8、
9、==4,
10、
11、==6,∴
12、
13、2+
14、
15、2=
16、
17、2,∴△ABC为直角三角形.2.已知在△ABC中,
18、
19、=10,·=-16,D为边BC的中点,则
20、
21、等于( )A
22、.6B.5C.4D.3答案 D解析 在△ABC中,由余弦定理可得,AB2+AC2-2AB·AC·cosA=BC2,又·=
23、
24、·
25、
26、·cosA=-16,所以AB2+AC2+32=100,AB2+AC2=68.又D为边BC的中点,所以+=2,两边平方得4
27、
28、2=68-32=36,解得
29、
30、=3,故选D.3.(2016·武汉模拟)平面直角坐标系xOy中,若定点A(1,2)与动点P(x,y)满足·=4,则点P的轨迹方程是____________.答案 x+2y-4=0解析 由·=4,得(x,y)·(1,2)=4,即x+2y=4.4.(2016·银川模拟)已知向量a=(c
31、osθ,sinθ),b=(,-1),则
32、2a-b
33、的最大值为________.答案 4解析 设a与b夹角为α,∵
34、2a-b
35、2=4a2-4a·b+b2=8-4
36、a
37、
38、b
39、cosα=8-8cosα,∵α∈[0,π],∴cosα∈[-1,1],∴8-8cosα∈[0,16],即
40、2a-b
41、2∈[0,16],∴
42、2a-b
43、∈[0,4].∴
44、2a-b
45、的最大值为4.5.(2016·江西八校联考)在△ABC中,=(,),=(1,),则△ABC的面积为________.答案 1-解析 ∵cos∠BAC==,∴sin∠BAC=,∴S△ABC=
46、
47、·
48、
49、·sin∠BAC=1-
50、.题型一 向量在平面几何中的应用例1 (1)在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点.若·=1,则AB=________.(2)已知O是平面上的一定点,A,B,C是平面上不共线的三个动点,若动点P满足=+λ(+),λ∈(0,+∞),则点P的轨迹一定通过△ABC的( )A.内心B.外心C.重心D.垂心答案 (1) (2)C解析 (1)在平行四边形ABCD中,取AB的中点F,则=,∴==-,又∵=+,∴·=(+)·(-)=2-·+·-2=
51、
52、2+
53、
54、
55、
56、cos60°-
57、
58、2=1+×
59、
60、-
61、
62、2=1.∴
63、
64、=0,又
65、
66、≠0,∴
67、
68、=.(2
69、)由原等式,得-=λ(+),即=λ(+),根据平行四边形法则,知+是△ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量的2倍,所以点P的轨迹必过△ABC的重心.引申探究本例(2)中,若动点P满足=+λ,λ∈(0,+∞),则点P的轨迹一定通过△ABC的________________________________________________________________________.答案 内心解析 由条件,得-=λ,即=λ,而和分别表示平行于,的单位向量,故+平分∠BAC,即平分∠BAC,所以点P的轨迹必过△ABC的内心.思维升华 向量与平面几何综合问题
70、的解法(1)坐标法把几何图形放在适当的
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