经济数学-微积分-吴传生(第二版)课后答案——第4章.docx

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1、第四章即舊=+・解得w=*

2、w(°，i)，故满足柯西中值定理.2.证明下列不尊式：(1)(2)(3)(4)证当u>〃>0时.3b*2(a^b)1时.e">ex・(1)设/(x)=x3•则/Cr)在［伉刃上连续•在(bg)内可导，由拉格朗日中值定理可知•存———微积分同步辅曇与习谢全解五.习题全解在g€(b,a〉,使a_b由XgVa.知3/V3F<3“S故心)=理■三伴.即時=3宀即3tr(a~b)

3、数/(刃=+及以工)=”+1在区间［0,叮上验证柯西中值定理.解⑴显然严sin工在弋，罟］上连续•在借罟)内可导.血卡=弘普=*,由罗尔定理知，至少有一点花(£，芳)，便y(F)=cosE=0.解y=cosjr=0・得•!•="+•£(”=()■±1■士2•取刃=0,-r=fe(f，罟),故$==f6(f晋)，使y(e)=cosf=0.(2)因为y=4云一6F-2在［0,1］上连续，(0,1)内可导，由拉格朗口中值定理知，至少存在一点£€(0,1),使y(&=12孑一12g=N*二罟=一2解之得W=上許或3評・故满足拉

4、格朗日中值定理.(3)因为及gCr)=/+l在［0,1］上连续，在(0,1)内町导，且g'Cr)=2rH0GrW(0,l)),由柯西中值定理知・至少有一点$6(0.1),使£憲=缶苓册・—夕V3a(“一〃)，(2)设/(x)=lnx,则/(工)在0刃上连续Ab.a)内可导，由拉格朗日中值定理可知,存在$6(^a)t使*宀尹，即爵H由Xgs知+<*<+，故1V】na—In17Ja-b〈石，即丄(a-6)

5、(工)在［“血或［6,a］匕连续，在(a・〃)或(b・a)内可导，由拉格朗H中值定理知.存在心"或使即arctanA—arctana=■(6—a),以:arctan6arctana

6、6—q]WI&—Q丨・(4)设/⑺=小显然匕在口,工］(工>1)上连续，(1・工)内町导，由拉格朗H中值定理知，存在ee(bx),使即J—e=e*(、z—1)・由于£>1,e，单调递增，所以ef>e,故疋一e>e(jr—1),即e^^er.3.证明恒等式：arctanx4-arccot(―8VrrV+8).证设/工)=arctan工+a

7、rccot工，则所以/(x)=C(x6R.C为常数).又/(O)=arcranO+arccot0=-

8、,故/(£>=arctanj：+arccot工=务・4.证明方程t3+x-1=0有且只有一个正实根.证设/(x)=P4-^—1♦则/(0)==-1<0,/(1)=1>0,11/(工)在［0,1］.上连续，由零值足理可知，至少有一个庆(0,1)使/(£)=0,即/(工)=0至少有一个正根.再证根的唯一性.假设方程至少有两个止根，即存在工2>工】》・使/5)=/(工2)=0.乂/Cr)在［r,乜］上连续，在(4,工2〉内可

9、导，由罗尔定理知，存在£€(刃，工2)，使厂(€)=0,而门工)=3F+l>0,矛盾，故方程不可能有两个正根•所以方程有口只有一个正实根.5.不用求出函数/(.r)=x(x-l)(x-2)(x-3)的导数，试判别方程fS=0的根的个数.解由于/Xh)在[o,叮上连续，在(0,1)内可导,/(0)=/(1)=0.由罗尔定理知：3^€(0,1),使f($〉=o・同理，€(1,2),6W(2,3),使/(^)=Z(^)=0.显然&，&,6都是方程Z

10、方程/(x)=0的三个实根.显然门工)在冶，&],[&£]上满足罗尔定理的条件.故m巾€(&,&)90€(&,&),使f5)=f=0.而厂(工)是二次多项式,<(x)=0至多有两个实根.因此方程/'(工)=0有且仅有两个实根.3.若函数/(工)在(一oo,+8)内满足关系式/(x)-/(x)且/(0)-1.证明/(工)=e证令g(H)=，y,工€(—8,+8),g&)=f=fg[g=Q,•e0故gCr)=*^=C(常数).又g(0)=年糾=1,故习题4-2(见原书P147)1.用洛必达法则求下列各极限:(1)liml

11、n(1+x)X#l、I•1nsinjc⑸撰貢话产ln(l+~)(9)lim—~~厂・十8arccotx(⑶凹甜Tx->osinx⑶lim—^~CQ-zrx~a5、i・lnian3工(7)lim;Intan4x⑷lim严年如0)$xh>tanox,nxi*tanx(8)lim-—；«tan5jt(2)(5)(6)(10)lim坦匚上