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《2018年秋高中数学课时分层作业19空间向量与垂直关系新人教A版选修2-1.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、课时分层作业(十九)空间向量与垂直关系(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知平面α的法向量为a＝(1,2，－2)，平面β的法向量为b＝(－2，－4，k)，若α⊥β，则k＝( )A．4 B．－4 C．5 D．－5D [∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b＝－2－8－2k＝0.∴k＝－5.]2．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为( )A．，－，4B．，－，4C．，－2,4D．4，，－15B [∵⊥，∴·＝0，即3＋5－2z＝0，得z＝4，又BP⊥平面ABC，∴⊥，⊥，则解得]3．在菱形ABCD中
2、，若是平面ABCD的法向量，则以下等式中可能不成立的是( )【导学号：46342170】A．⊥B．⊥C．⊥D．⊥D [由题意知PA⊥平面ABCD，所以PA与平面上的线AB，CD都垂直，A，B正确；又因为菱形的对角线互相垂直，可推得对角线BD⊥平面PAC，故PC⊥BD，C选项正确．]4．已知点A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，点D满足条件：DB⊥AC，DC⊥AB，AD＝BC，则点D的坐标为( )A．(1,1,1)B．(－1，－1，－1)或C．D．(1,1,1)或D [设D(x，y，z)，则＝(x，y－1，z)，＝(x，y，z－1)，＝(x－1，y，z)，＝(－1,0,1)
3、，＝(－1，1,0)，＝(0，－1,1)．又DB⊥AC⇔－x＋z＝0 ①，DC⊥AB⇔－x＋y＝0 ②，AD＝BC⇔(x－1)2＋y2＋z2＝2 ③，联立①②③得x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－，所以点D的坐标为(1,1,1)或.故选D．]5.如图3214所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则( )图3214A．EF至多与A1D，AC之一垂直B．EF⊥A1D，EF⊥ACC．EF与BD1相交D．EF与BD1异面B [建立分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴的空间直角坐标系(图略)，不妨设正方体的棱长为1，则＝(1,0,1)
4、，＝(0,1,0)－(1,0,0)＝(－1,1,0)，E，F，＝，∴·＝0，·＝0，∴EF⊥A1D，EF⊥AC．]二、填空题6．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．给出下列结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的一个法向量．其中正确的是________(填序号)．①②③ [·＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝－2－2＋4＝0，则⊥，则AB⊥AP.·＝4×(－1)＋2×2＋0＝0，则⊥，则AP⊥AD．又AB∩AD＝A，∴AP⊥平面ABCD，故是平面ABCD的一个法向量．]7．已知a＝(0,1,1
5、)，b＝(1,1,0)，c＝(1,0,1)分别是平面α，β，γ的法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有________对.【导学号：46342171】0 [∵a·b＝(0,1,1)·(1,1,0)＝1≠0，a·c＝(0,1,1)·(1,0,1)＝1≠0，b·c＝(1,1,0)·(1,0,1)＝1≠0，∴a，b，c中任意两个都不垂直，即α，β，γ中任意两个都不垂直．]8．已知空间三点A(－1,1,1)，B(0,0,1)，C(1,2，－3)，若直线AB上存在一点M，满足CM⊥AB，则点M的坐标为________． [设M(x，y，z)，∵＝(1，－1,0)，＝(x，y，z－1)，＝(x－1，y
6、－2，z＋3)，由题意，得，∴x＝－，y＝，z＝1，∴点M的坐标为.]三、解答题9.如图3215，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：AM⊥平面BDF.图3215[证明] 以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(，，0)，B(0，，0)，D(，0,0)，F(，，1)，M.所以＝，＝(0,，1)，＝(，－，0)．设n＝(x，y，z)是平面BDF的法向量，则n⊥，n⊥，所以⇒取y＝1，得x＝1，z＝－.则n＝(1,1，－)．因为＝.所以n＝－，得n与共线．所以AM⊥平面BDF.10．如图3216所示，△ABC是一个正三角形，E
7、C⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD．图3216求证：平面DEA⊥平面ECA．[证明] 建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，不妨设CA＝2，则CE＝2，BD＝1，C(0,0,0)，A(，1,0)，B(0,2,0)，E(0,0,2)，D(0,2,1)．所以＝(，1，－2)，＝(0,0,2)，＝(0,2，－1)．分别设平面CEA与平面DEA的法向量是n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x
