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1、数学建模实验三Lorenz模型与食饵模型一、实验目的1、学习用Mathematica求常微分方程的解析解和数值解，并进行定性分析；2、学习用MATLAB求常微分方程的解析解和数值解，并进行定性分析。二、实验材料2.1问题图3.3.1是著名的洛仑兹(E.N.Lorenz)混沌吸引子，洛仑兹吸引子已成为混沌理论的徽标，好比行星轨道图代表着哥白尼、开普勒理论一样。洛仑兹是学数学出身的，1948年起在美国麻省理工学院（MIT）作动力气象学博士后工作，1963年他在《大气科学杂志》上发表的论文《确定性非周期流》是混沌研究史上光辉的著作。以前科学家们不自觉地认为微分方程的解只
2、有那么几类：1)发散轨道；2)不动点；3)极限环；4)极限环面。除此以外，大概没有新的运动类型了，这是人们的一种主观猜测，谁也没有给出证明。事实上这种想法是非常错误的。1963年美国麻省理工学院气象科学家洛仑兹给出一个具体模型，就是著名的Lorenz模型，清楚地展示了一种新型运动体制：混沌运动，轨道既不收敛到极限环上也不跑掉。而今Lorenz模型在科学与工程计算中经常运用的问题。例如，数据加密中。我们能否绘制出洛仑兹吸引子呢？图3.3.1洛仑兹(E.N.Lorenz)混沌吸引子假设狐狸和兔子共同生活在同一个有限区域内，有足够多的食物供兔子享用，而狐狸仅以兔子为食物
3、.x为兔子数量,y表狐狸数量。假定在没有狐狸的情况下，兔子增长率为400％。如果没有兔子，狐狸将被饿死，死亡率为90％。狐狸与兔子相互作用的关系是，狐狸的存在使兔子受到威胁，且狐狸越多兔子增长受到阻碍越大，设增长的减小与狐狸总数成正比，比例系数为0.02。而兔子的存在又为狐狸提供食物，设狐狸在单位时间的死亡率的减少与兔子的数量成正比，设比例系数为0.001。建立数学模型，并说明这个简单的生态系统是如何变化的。2.2预备知识1、求解常微分方程的Euler折线法求初值问题（12.1）在区间上的数值解，并在区间插入了结点。由导数的定义，即微商。（右端称为差商）从而可在每
4、个结点上用差商来近似替代导数，将微分方程转化为代数方程组（此处的代数方程组常称为差分方程）,加上初值条件则可确定一组解。求解这一差分方程即可得到微分方程初值问题的数值解。变形上述方程有,记,，从而，则有这就是求解微分方程初值问题的欧拉(Euler)折线法。之所以称为欧拉折线法是因为：就几何角度而言，所求得的近似解是初值问题精确解的折线逼近，而且此折线的起点是初值条件所对应的点。2、微分方程的Mathematica求解（1）求解命令有两个命令：DSolve[]与NDSolve。命令格式分别为DSolve[方程，y，x]NDSolve［方程，y，｛x，xl，x2｝］。
5、其中方程必须为微分方程及相应初始条件，｛x，xl，x2｝说明要给出数值解的范围为区间［x1，x2］。（2）使用的注意事项①方程中的函数应写成完整形式y[x],以表明y是x的函数；②方程应写成…==…的形式；③重复使用时，应随时清除要涉及变量的以前定义，方法是Clear[y]；④使用NDSolve时，所加初始条件的个数应等于微分方程的阶数，同时方程中也不含其它参数，否则给不出正确结果。（3）解的表示形式Mathematica给出的微分方程的解是以纯函数（或数学中的算子）定义的形式给出的，例如：DSolve[y'[x]+3*y[x]==2x,y,x]的结果是3、微分方
6、程的MATLAB求解（1）求解析解命令dsolve；（2）求数值解命令ODE或Simulink。2.3建立模型问题（1）的洛仑兹吸引子可以用下面的微分方程得到，著名的Lorenz模型的状态方程可表示为若令且初值为，e为一个小常数，假设。求微分方程的数值解，并绘制出时间曲线与相空间曲线。问题（2）是著名的食饵模型，数学模型为2.4练习题1、求解微分方程的通解。求解的Mathematica命令为：DSolve[y'[x]+2*x*y[x]==x*E^(-x^2),y,x]或者DSolve[D[y[x],x]+2*x*y[x]==x*E^(-x^2),y,x]2、求微分
7、方程在初始条件下的特解。应给出的命令为：DSolve[{x*y'[x]+y[x]-E^x==0,y[1]==2E},y,x]3、求在初始条件下的特解，并画出解的图形。要求分别求解析解与数值解并作比较。清除要涉及变量的命令为：Clear[x,y]求解析解的命令为：sc=DSolve[{(x^2-1)y'[x]+2x*y[x]-Cos[x]==0,y[0]==1},y,x]画解析解图像的命令为：y=y/.sc[[1]]g1=Plot[y[x],{x,0,1},PlotStyle->RGBColor[1,0,0]]注：也可将画图范围变为Plot[y[x],{x,0,4}
8、]求数值解
