简单迭代法的概念与结论.ppt

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1、简单迭代法的概念与结论简单迭代法又称逐次迭代法，基本思想是构造不动点方程，以求得近似根。即由方程f(x)=0变换为x=(x),然后建立迭代格式，返回下一页则称迭代格式收敛,否则称为发散上一页与方程x=(x)同解收敛发散下一页返回上一页如果{xk}收敛于x*，则它就是方程的根。因为：但迭代格式有多种，迭代格式如何建立才能保证迭代法的数列收敛？有如下定理：返回下一页上一页定理一：假定函数满足下列条件：1、对任意有；(1.1)2、存在正数L<1，使对任意有(1.2)则12迭代过程对于任意初值均收敛于方程的根，且有如下的误差估计式：(1.3)返回下一页实用中(1.2)式

2、常用上一页由条件1证明：1若或，则满足方程若，，则有由介值定理知，存在有即假设满足方程由条件2所以下一页返回上一页2设方程在区间内有根，则有由故据此反复递推有返回下一页上一页故当时迭代值按(1.2)式有(1.4)，据此反复递推得：于是对任意正整数p有在上式令，注意到即得式(1.3)。证毕。返回下一页上一页定理一指出,只要构造的迭代函数满足或由得因此,当迭代就可以终止,下一页下一页返回上一页此时虽收敛但不一定是唯一根迭代法收敛就越快由定理一可以看到定义1.下一页返回上一页定理二：对于迭代过程，如果在所求根的邻近连续，并且(*)则该迭代过程在点邻近是P阶收敛的。证明：由

3、于。据定理一，立即可以断定迭代过程具有局部收敛性。再将在根处展开，利用条件(*)，则有注意到，由上式得返回下一页上一页因此对迭代误差有:。这表明迭代过程确实为P阶收敛，证毕。定理二告诉我们，迭代过程的收敛速度依赖于迭代函数.如果选取当时,则该迭代过程只能是线性收敛。对于牛顿迭代公式，其迭代函数为由于,假定是f(x)的一个单根，即，则由上式知。于是依据定理二可以断定，牛顿法在根的邻近是至少以平方收敛的。返回下一页上一页定义2：如果存在的某个邻域，使迭代过程对于任意初值均收敛，则称迭代过程在根邻近具有局部收敛性。定理三：设为方程的根，在的邻近连续。且，则迭代过程在邻近具

4、有局部收敛性。返回下一页上一页证明：由连续函数的性质，存在的某个邻域，使对于任意成立。此外对于任意总有。这是因为依据定理一，可以断定，迭代过程对于任意初值均收敛。证毕。返回上一页