2018届高三数学每天一练半小时：第42练 高考大题突破练——数列 含答案

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1、训练目标【1】数列知识的综合应用；【2】中档大题的规范练．训练题型【1】等差、等比数列的综合；【2】数列与不等式的综合；【3】数列与函数的综合；【4】一般数列的通项与求和．解题策略【1】将一般数列转化为等差或等比数列；【2】用方程【组】思想解决等差、等比数列的综合问题.1.设数列{an}的前n项和为Sn.已知2Sn＝3n＋3.【1】求{an}的通项公式；【2】若数列{bn}满足anbn＝log3an，求{bn}的前n项和Tn.2．已知数列{an}是递增的等比数列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8.【1】求数列{an}的通项公式；【2】设Sn为数列{an}的前n项和，bn＝，求数列{bn

2、}的前n项和Tn.3．已知数列{an}的各项均为正数，Sn是数列{an}的前n项和，且4Sn＝a＋2an－3.【1】求数列{an}的通项公式；【2】已知bn＝2n，求Tn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn的值．4.在数列{an}中，a1＝，其前n项和为Sn，且Sn＝an＋1－【n∈N*】．【1】求an，Sn；【2】设bn＝log2【2Sn＋1】－2，数列{cn}满足cn·bn＋3·bn＋4＝1＋【n＋1】【n＋2】·2bn，数列{cn}的前n项和为Tn，求使4Tn>2n＋1－成立的最小正整数n的值．5．已知函数f【x】满足f【x＋y】＝f【x】·f【y】且f【1】＝.【1】当n∈N*

3、时，求f【n】的表达式；【2】设an＝n·f【n】，n∈N*，求证：a1＋a2＋a3＋…＋an<2；【3】设bn＝【9－n】，n∈N*，Sn为{bn}的前n项和，当Sn最大时，求n的值．答案精析1．解　【1】因为2Sn＝3n＋3，所以2a1＝3＋3，故a1＝3，当n>1时，2Sn－1＝3n－1＋3，此时2an＝2Sn－2Sn－1＝3n－3n－1＝2×3n－1，即an＝3n－1，显然a1不满足an＝3n－1，所以an＝【2】因为anbn＝log3an，所以b1＝，当n>1时，bn＝31－nlog33n－1＝【n－1】·31－n，所以T1＝b1＝.当n>1时，Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋

4、bn＝＋[1×3－1＋2×3－2＋3×3－3＋…＋【n－1】×31－n]，所以3Tn＝1＋[1×30＋2×3－1＋3×3－2＋…＋【n－1】×32－n]，两式相减，得2Tn＝＋【30＋3－1＋3－2＋3－3＋…＋32－n】－【n－1】×31－n＝＋－【n－1】×31－n＝－，所以Tn＝－.经检验，n＝1时也适合．综上可得Tn＝－.2．解　【1】由题设知a1·a4＝a2·a3＝8.又a1＋a4＝9，可解得或【舍去】．由a4＝a1q3得公比q＝2，故an＝a1qn－1＝2n－1【n∈N*】．【2】Sn＝＝2n－1，又bn＝＝＝－，所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝－＝1－.3．解

5、　【1】当n＝1时，a1＝S1＝a＋a1－.解得a1＝3.又∵4Sn＝a＋2an－3，①当n≥2时，4Sn－1＝a＋2an－1－3.②①－②，得4an＝a－a＋2【an－an－1】，即a－a－2【an＋an－1】＝0.∴【an＋an－1】【an－an－1－2】＝0.∵an＋an－1>0，∴an－an－1＝2【n≥2】，∴数列{an}是以3为首项，2为公差的等差数列．∴an＝3＋2【n－1】＝2n＋1.【2】Tn＝3×21＋5×22＋…＋【2n＋1】·2n，③2Tn＝3×22＋5×23＋…＋【2n－1】·2n＋【2n＋1】2n＋1，④④－③，得Tn＝－3×21－2【22＋23＋…＋2n

6、】＋【2n＋1】2n＋1＝－6＋8－2·2n＋1＋【2n＋1】·2n＋1＝【2n－1】2n＋1＋2.4．解　【1】由Sn＝an＋1－，得Sn－1＝an－【n≥2】，两式作差得an＝an＋1－an，即2an＝an＋1【n≥2】，∴＝2【n≥2】，由a1＝S1＝a2－＝，得a2＝1，∴＝2，∴数列{an}是首项为，公比为2的等比数列．则an＝·2n－1＝2n－2，Sn＝an＋1－＝2n－1－.【2】bn＝log2【2Sn＋1】－2＝log22n－2＝n－2，∴cn·bn＋3·bn＋4＝1＋【n＋1】【n＋2】·2bn，即cn【n＋1】【n＋2】＝1＋【n＋1】【n＋2】·2n－2，∴cn

7、＝＋2n－2＝－＋2n－2，∴Tn＝【－】＋【－】＋…＋【－】＋【2－1＋20＋…＋2n－2】＝－＋＝－－＋2n－1＝2n－1－.由4Tn>2n＋1－，得4【2n－1－】>2n＋1－.即<，n>2014.∴使4Tn>2n＋1－成立的最小正整数n的值为2015.5．【1】解　令x＝n，y＝1，得f【n＋1】＝f【n】·f【1】＝f【n】，∴{f【n】}是首项为，公比为的等比数列，∴f【n】＝【】n.【2】证明　设Tn为{an}的前n项和，∵an＝n·f【n】