2018年高考数学（浙江专用）总复习教师用书：第4章 第2讲　同角三角函数的基本关系式与诱导公式 含解析

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1、第2讲　同角三角函数的基本关系式与诱导公式最新考纲　1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tanα；2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.知识梳理1.同角三角函数的基本关系【1】平方关系：sin2α＋cos2α＝1.【2】商数关系：＝tan__α.2.三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ＋α【k∈Z】π＋α－απ－α－α＋α正弦sinα－sin__α－sin__αsin__αcos__αcos__α余弦cosα－cos__αcos__α－cos__αs

2、in__α－sin__α正切tanαtan__α－tan__α－tan__α口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限诊断自测1.判断正误【在括号内打“√”或“×”】【1】sin【π＋α】＝－sinα成立的条件是α为锐角.【　　】【2】六组诱导公式中的角α可以是任意角.【　　】【3】诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.【　　】【4】若sin【kπ－α】＝【k∈Z】，则sinα＝.【　　】解析　【1】对于α∈R，sin【π＋α】＝－sinα都成立.

3、【4】当k为奇数时，sinα＝，当k为偶数时，sinα＝－.答案　【1】×　【2】√　【3】√　【4】×2.【2017·泰安模拟】sin600°的值为【　　】A.－B.－C.D.解析　sin600°＝sin【360°＋240°】＝sin240°＝sin【180°＋60°】＝－sin60°＝－.答案　B3.已知sin＝，那么cosα＝【　　】A.－B.－C.D.解析　∵sin＝sin＝cosα，∴cosα＝.故选C.答案　C4.已知sinθ＋cosθ＝，θ∈，则sinθ－cosθ的值为【　　】A.B.－C.D.－解析　∵si

4、nθ＋cosθ＝，∴sinθcosθ＝.又∵【sinθ－cosθ】2＝1－2sinθcosθ＝，∴sinθ－cosθ＝或－.又∵θ∈，∴sinθ－cosθ＝－.答案　B5.【必修4P22B3改编】已知tanα＝2，则的值为________.解析　原式＝＝＝3.答案　36.【2017·丽水调研】设a为常数，且a>1，0≤x≤2π，则当x＝________时，函数f【x】＝cos2x＋2asinx－1的最大值为________.解析　f【x】＝cos2x＋2asinx－1＝1－sin2x＋2asinx－1＝－【sinx－a】2

5、＋a2，因为0≤x≤2π，所以－1≤sinx≤1，又因为a>1，所以f【x】max＝－【1－a】2＋a2＝2a－1.答案　　2a－1考点一　同角三角函数基本关系式的应用【例1】【1】【2015·福建卷】若sinα＝－，且α为第四象限角，则tanα的值等于【　　】A.B.－C.D.－【2】【2017·东阳模拟】已知sinαcosα＝，且<α<，则cosα－sinα的值为【　　】A.－B.C.－D.【3】【2016·全国Ⅲ卷】若tanα＝，则cos2α＋2sin2α＝【　　】A.B.C.1D.解析　【1】∵sinα＝－，且α为

6、第四象限角，∴cosα＝＝，∴tanα＝＝－，故选D.【2】∵<α<，∴cosα<0，sinα<0且cosα>sinα，∴cosα－sinα>0.又【cosα－sinα】2＝1－2sinαcosα＝1－2×＝，∴cosα－sinα＝.【3】tanα＝，则cos2α＋2sin2α＝＝＝.答案　【1】D　【2】B　【3】A规律方法　【1】利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tanα可以实现角α的弦切互化.【2】应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－co

7、sα这三个式子，利用【sinα±cosα】2＝1±2sinαcosα，可以知一求二.【3】注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.【训练1】【1】已知sinα－cosα＝，α∈【0，π】，则tanα＝【　　】A.－1B.－C.D.1【2】若3sinα＋cosα＝0，则的值为【　　】A.B.C.D.－2解析　【1】由得：2cos2α＋2cosα＋1＝0，即＝0，∴cosα＝－.又α∈【0，π】，∴α＝，∴tanα＝tan＝－1.【2】3sinα＋cosα＝0

8、⇒cosα≠0⇒tanα＝－，＝＝＝＝.答案　【1】A　【2】A考点二　诱导公式的应用【例2】【1】化简：sin【－1200°】cos1290°＋cos【－1020°】·sin【－1050°】；【2】设f【α】＝【1＋2sinα≠0】，求f的值.解　【1】原式＝－sin1200°cos1290°－cos