2018年高考数学（浙江专用）总复习教师用书：第8章 第5讲　直线、平面垂直的判定及其性质 含解析

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1、第5讲　直线、平面垂直的判定及其性质最新考纲　1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.知识梳理1.直线与平面垂直【1】直线和平面垂直的定义如果一条直线l与平面α内的任意直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直.【2】判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⇒l⊥α性质定理两直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行⇒a∥b2.平面与平面垂直【1】平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的

2、二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.【2】判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直⇒α⊥β性质定理如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面⇒l⊥α诊断自测1.判断正误【在括号内打“√”或“×”】【1】直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.【　　】【2】垂直于同一个平面的两平面平行.【　　】【3】若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.【　　】【4】若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.【　　】解析　【1】直线l与平面α内的无数条

3、直线都垂直，则有l⊥α或l与α斜交或l⊂α或l∥α，故【1】错误.【2】垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，故【2】错误.【3】若两个平面垂直，则其中一个平面内的直线可能垂直于另一平面，也可能与另一平面平行，也可能与另一平面相交，也可能在另一平面内，故【3】错误.【4】若平面α内的一条直线垂直于平面β内的所有直线，则α⊥β，故【4】错误.答案　【1】×　【2】×　【3】×　【4】×2.【必修2P56A组7T改编】下列命题中错误的是【　　】A.如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB.如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC.如果平面

4、α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD.如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β解析　对于D，若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β，即与平面β的关系还可以是斜交、平行或在平面β内，其他选项易知均是正确的.答案　D3.【2016·浙江卷】已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则【　　】A.m∥lB.m∥nC.n⊥lD.m⊥n解析　因为α∩β＝l，所以l⊂β，又n⊥β，所以n⊥l，故选C.答案　C4.已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是【　　】A.α⊥

5、β且m⊂αB.α⊥β且m∥αC.m∥n且n⊥βD.m⊥n且α∥β解析　由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知C正确.答案　C5.【2017·浙江名校协作体联考】已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝.将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中，【　　】A.存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B.存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C.存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D.对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直解析　若AB⊥CD，BC⊥CD，则可得CD⊥平面ACB，因此有CD⊥AC.因为AB＝1，BC＝AD

6、＝，CD＝1，所以AC＝1，所以存在某个位置，使得AB⊥CD.答案　B6.【必修2P67练习2改编】在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O，【1】若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心.【2】若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心.解析　【1】如图1，连接OA，OB，OC，OP，在Rt△POA、Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心.　　图1　　　　　　　图2【2】如图2，∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，∴PC⊥平面PAB，AB⊂平面PAB，∴PC⊥

7、AB，又AB⊥PO，PO∩PC＝P，∴AB⊥平面PGC，又CG⊂平面PGC，∴AB⊥CG，即CG为△ABC边AB的高.同理可证BD，AH分别为△ABC边AC，BC上的高，即O为△ABC的垂心.答案　【1】外　【2】垂考点一　线面垂直的判定与性质【例1】如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点.证明：【1】CD⊥AE；【2】PD⊥平面ABE.证明　【1】在四棱锥P－ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面A