2019版一轮优化探究文数练习：第六章 第五节　数列的综合应用 含解析

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1、一，填空题1．设等差数列{an}的公差d≠0，a1＝4d，若ak是a1与a2k的等比中项，则k的值为________．解析：由条件知an＝a1＋(n－1)d＝4d＋(n－1)d＝(n＋3)d，即an＝(n＋3)d(n∈N*)．又a＝a1·a2k，所以(k＋3)2d2＝4d·(2k＋3)d，且d≠0，所以(k＋3)2＝4(2k＋3)，即k2－2k－3＝0，解得k＝3或k＝－1(舍去)．答案：32．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)＝

2、n(n＋1)(2n＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是________．解析：由已知可得第n年的产量an＝f(n)－f(n－1)＝3n2；当n＝1时也适合．据题意令an≥150⇒n≥5，即数列从第8项开始超过150，即这条生产线最多生产7年．答案：73．等差数列中，3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，则该数列前13项的和是________．解析：∵a3＋a5＝2a4，a7＋a10＋a13＝3a10，∴6(a4＋a10

3、)＝24，a4＋a10＝4，∴S13＝＝＝26.答案：264．已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，且an，an＋1是函数f(x)＝x2－bnx＋2n的两个零点，则b10等于________．解析：依题意有anan＋1＝2n，所以an＋1an＋2＝2n＋1，两式相除得＝2，所以a1，a3，a5，…成等比数列，a2，a4，a6，…也成等比数列，而a1＝1，a2＝2，所以a10＝2×24＝32，a11＝1×25＝32，又因为an＋an＋1＝bn，所以b10＝a10＋a11＝64.答案：645．有限数列A：a1，

4、a2，…，an，Sn为其前n项和，定义为A的“凯森和”，若有99项的数列a1，a2，…，a99的“凯森和”为1000，则有100项的数列1，a1，a2，…，a99的“凯森和”为________．解析：设a1，a2，…，a99的“凯森和”为＝1000，则1，a1，a2，…，a99的“凯森和”为，而T1＝1，T2＝S1＋1，T3＝S2＋1，…，T100＝S99＋1，所以＝＝991.答案：9916．已知等差数列{an}的公差d≠0，它的第1，5，17项顺次成等比数列，则这个等比数列的公比是________．解析：由

5、题知a＝a1·a17，即a＝(a5－4d)·(a5＋12d)，∴8a5d－48d2＝0，∵d≠0，∴a5＝6d，∴公比q＝＝＝＝3.答案：37．秋末冬初，流感盛行，特别是甲型H1N1流感．某医院近30天每天入院治疗甲流的人数依次构成数列{an}，已知a1＝1，a2＝2，且an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N*)，则该医院30天入院治疗甲流的人数共有________．解析：由于an＋2－an＝1＋(－1)n，所以a1＝a3＝…＝a29＝1，a2，a4，…，a30构成公差为2的等差数列，所以a1＋a2＋…＋a2

6、9＋a30＝15＋15×2＋×2＝255.答案：2558．已知a，b∈R＋，A为a，b的等差中项，正数G为a，b的等比中项，则ab与AG的大小关系是________．解析：依题意A＝，G＝，∴AG－ab＝·－ab＝(－)＝·≥0，∴AG≥ab.答案：AG≥ab9．在直角坐标系中，O是坐标原点，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是第一象限的两个点，若1，x1，x2,4依次成等差数列，而1，y1，y2,8依次成等比数列，则△OP1P2的面积是________．解析：根据等差，等比数列的性质，可知x1＝2，x2

7、＝3，y1＝2，y2＝4.∴P1(2,2)，P2(3,4)．∴S△OP1P2＝1.答案：1二，解答题10．已知数列{an}的前n项和Sn和通项an满足Sn＝(1－an)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn＝nan，求证：b1＋b2＋…＋bn<.解析：(1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(1－an)－(1－an－1)＝－an＋an－1,2an＝－an＋an－1，由题意可知an－1≠0，∴＝，所以{an}是公比为的等比数列．S1＝a1＝(1－a1)，a1＝.an＝×()n－1＝()n

8、.(2)证明：bn＝n()n，设Tn＝1×()1＋2×()2＋3×()3＋…＋n×()n，①∴Tn＝1×()2＋2×()3＋3×()4＋…＋n×()n＋1，②①－②，化简得∴Tn＝－()n－n()n＋1<.11．从社会效益和经济效益出发，某旅游县区计划投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，2014年投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于