竞赛讲座 23完全平方数

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1、竞赛讲座23-完全平方数(一)完全平方数的性质    一个数如果是另一个整数的完全平方,那么我们就称这个数为完全平方数,也叫做平方数。例如:  0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,…    观察这些完全平方数,可以获得对它们的个位数,十位数,数字和等的规律性的认识。下面我们来研究完全平方数的一些常用性质:    性质1:完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。    性质2:奇数的平方

2、的个位数字为奇数,十位数字为偶数。    证明 奇数必为下列五种形式之一:  10a+1, 10a+3, 10a+5, 10a+7, 10a+9  分别平方后,得    (10a+1)=100+20a+1=20a(5a+1)+1    (10a+3)=100+60a+9=20a(5a+3)+9    (10a+5)=100+100a+25=20(5a+5a+1)+5    (10a+7)=100+140a+49=20(5a+7a+2)+9    (10a+9)=100+180a+81=20   (5a+9a+4

3、)+1  综上各种情形可知:奇数的平方,个位数字为奇数1,5,9;十位数字为偶数。    性质3:如果完全平方数的十位数字是奇数,则它的个位数字一定是6;反之,如果完全平方数的个位数字是6,则它的十位数字一定是奇数。  证明 已知=10k+6,证明k为奇数。因为的个位数为6,所以m的个位数为4或6,于是可设m=10n+4或10n+6。则  10k+6=(10n+4)=100+(8n+1)x10+6  或 10k+6=(10n+6)=100+(12n+3)x10+6  即 k=10+8n+1=2(5+4n)+1 

4、 或 k=10+12n+3=2(5+6n)+3  ∴竞赛讲座23-完全平方数(一)完全平方数的性质    一个数如果是另一个整数的完全平方,那么我们就称这个数为完全平方数,也叫做平方数。例如:  0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,…    观察这些完全平方数,可以获得对它们的个位数,十位数,数字和等的规律性的认识。下面我们来研究完全平方数的一些常用性质:    性质1:完全平方数的末位数只能

5、是0,1,4,5,6,9。    性质2:奇数的平方的个位数字为奇数,十位数字为偶数。    证明 奇数必为下列五种形式之一:  10a+1, 10a+3, 10a+5, 10a+7, 10a+9  分别平方后,得    (10a+1)=100+20a+1=20a(5a+1)+1    (10a+3)=100+60a+9=20a(5a+3)+9    (10a+5)=100+100a+25=20(5a+5a+1)+5    (10a+7)=100+140a+49=20(5a+7a+2)+9    (10a+9)

6、=100+180a+81=20   (5a+9a+4)+1  综上各种情形可知:奇数的平方,个位数字为奇数1,5,9;十位数字为偶数。    性质3:如果完全平方数的十位数字是奇数,则它的个位数字一定是6;反之,如果完全平方数的个位数字是6,则它的十位数字一定是奇数。  证明 已知=10k+6,证明k为奇数。因为的个位数为6,所以m的个位数为4或6,于是可设m=10n+4或10n+6。则  10k+6=(10n+4)=100+(8n+1)x10+6  或 10k+6=(10n+6)=100+(12n+3)x10

7、+6  即 k=10+8n+1=2(5+4n)+1  或 k=10+12n+3=2(5+6n)+3  ∴ k为奇数。  推论1:如果一个数的十位数字是奇数,而个位数字不是6,那么这个数一定不是完全平方数。    推论2:如果一个完全平方数的个位数字不是6,则它的十位数字是偶数。  性质4:偶数的平方是4的倍数;奇数的平方是4的倍数加1。  这是因为 (2k+1)=4k(k+1)+1       (2k)=4  性质5:奇数的平方是8n+1型;偶数的平方为8n或8n+4型。  在性质4的证明中,由k(k+1)一定

8、为偶数可得到(2k+1)是8n+1型的数;由为奇数或偶数可得(2k)为8n型或8n+4型的数。  性质6:平方数的形式必为下列两种之一:3k,3k+1。  因为自然数被3除按余数的不同可以分为三类:3m,3m+1, 3m+2。平方后,分别得  (3m)=9=3k  (3m+1)=9+6m+1=3k+1  (3m+2)=9+12m+4=3k+1  同理可以得到:  性质7:不能被5整除的

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