“五心”枝头闹,对我知多少？

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1、“五心”枝头闹，对我知多少？l三角形的五个“心”1.重心：三角形三条中线交点.2.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.这一点为三角形外接圆的圆心，称外心。3.内心：三角形三内角的平分线相交于一点.是三角形的内切圆的圆心，称内心。4.垂心：三角形三边上的高相交于一点.l重心的性质:1.在ABC中，中线AD交BC于D,G是重心，则AG=2GD2.在中，A(x1,y1)B(x2,y2)C(x3,y3)的重心G坐标公式3.若O是的重心，则===4.内角平分线定理：:在ABC中，AD是交A的平分线BC于D,则l三角形五“心”向量形式的充要条件设为所在平面上一点，角所对边长

2、分别为，则（1）为的外心.（2）为的重心.（3）为的垂心.（4）为的内心===.图10著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置关系：（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”；（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外——垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。在△ABC中，已知Q、G、H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：Q、G、H三点共线，且QG:GH=1:2。向量专题复习一、与三角形“四心”相关的向量问题1：已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足,.则P点的轨迹一定通

3、过△ABC的A.外心B.内心C.重心D.垂心2：已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足,.则P点的轨迹一定通过△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心3：已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足,,则动点P的轨迹一定通过△ABC的()A.重心B.垂心C.外心D.内心4：已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足,,则动点P的轨迹一定通过△ABC的()A.重心B.垂心C.外心D.内心5：已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足,,则动点P的轨迹一定通过

4、△ABC的()A.重心B.垂心C.外心D.内心6：三个不共线的向量满足=+)==0，则O点是△ABC的()A.垂心B.重心C.内心D.外心7：已知O是△ABC所在平面上的一点，若=0,则O点是△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心8：已知O是△ABC所在平面上的一点，若(其中P为平面上任意一点),则O点是△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心9：已知O是△ABC所在平面上的一点，若，则O点是△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心10：已知O为△ABC所在平面内一点，满足=，则O点是△ABC的()A.垂心B.重心C.内心D.外心11：已知O是

5、△ABC所在平面上的一点，若===0，则O点是△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心12：已知O是△ABC所在平面上的一点，若=0，则O点是△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心13：已知O是△ABC所在平面上的一点，若(其中P是△ABC所在平面内任意一点)，则O点是△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心二、与三角形形状相关的向量问题14：已知非零向量与满足=0且，则△ABC为()A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形15：已知O为△ABC所在平面内一点，满足，则△ABC一定是()A.等腰直角三角形B.直角

6、三角形C.等腰三角形D.等边三角形16：已知a,b,c分别为△ABC中∠A,∠B,∠C的对边，G为△ABC的重心，且=0,则△ABC为()A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形三、与三角形面积相关的向量问题命题：平面内点O是△ABC的重心，则有.17：已知点O是△ABC内一点，=0,则：(1)△AOB与△AOC的面积之比为___________________；(2)△ABC与△AOC的面积之比为___________________；变式：1.已知点O是△ABC内一点，=0,则△AOB与△BOC的面积之比为_________________

7、__；2.已知点O是△ABC内一点，且x0,则S△BOC:S△AOC:S△AOB=__________________；18.五、三角形外心与重心的向量关系及应用命题五：设△ABC的外心为O，则点G为△ABC重心的充要条件为：图8图8证明：如图8，设G为重心，连结AG并延长，交BC于D，则D为BC的中点。∴反之，若，则由上面的证明可知：设D为BC的中点，则，从而，∴G在中线AD上且AG=AD，即G为重心。六、三角形外心与垂心的向量关系及应用命题六：设△ABC的外心为O，则点H为△ABC的垂心的充要条件是。证明：如图2，若H为垂心，以OB、OC为邻边作平行四边形OB

8、DC，图9