培优专题2_勾股定理及应用(含解答)-[1]

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1、勾股定理点击一：勾股定理勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2＋b2=c2．即直角三角形两直角的平方和等于斜边的平方．因此，在运用勾股定理计算三角形的边长时，要注意如下三点：（1）注意勾股定理的使用条件：只对直角三角形适用，而不适用于锐角三角形和钝角三角形；（2）注意分清斜边和直角边，避免盲目代入公式致错；（3）注意勾股定理公式的变形：在直角三角形中，已知任意两边，可求第三边长．即c2=a2＋b2，a2=c2－b2，b2=c2－a2．点击二：学会用拼图法验证勾股定理拼图法验证勾股定理的基本思想是：借助于图形的面积来验证，依据是对图形经过割补、拼接后面积不变的原理

2、．如图，利用四个如图1所示的直角三角形三角形，拼出如图2所示的三个图形．请读者证明．abc（图1）（1）（2）（3）如上图示，在图（1）中，利用图1边长为a，b，c的四个直角三角形拼成的一个以c为边长的正方形，则图2（1）中的小正方形的边长为（b－a），面积为（b－a）2，四个直角三角形的面积为4×ab=2ab．-43-由图（1）可知，大正方形的面积=四个直角三角形的面积＋小正方形的的面积，即c2=（b－a）2＋2ab，则a2＋b2=c2问题得证．请同学们自己证明图（2）、（3）．点击三：在数轴上表示无理数将在数轴上表示无理数的问题转化为化长为无理数的线段长问题．第一步：利用勾股定理拆分

3、出哪两条线段长的平方和等于所画线段（斜边）长的平方，注意一般其中一条线段的长是整数；第二步：以数轴原点为直角三角形斜边的顶点，构造直角三角形；第三步：以数轴原点圆心，以斜边长为半径画弧，即可在数轴上找到表示该无理数的点．点击四：直角三角形边与面积的关系及应用直角三角形有许多属性，除边与边、边与角、角与角的关系外，边与面积也有内的联系.设、为直角三角形的两条直角边，为斜边，为面积，于是有：，，，所以.即.也就是说，直角三角形的面积等于两直角边和的平方与斜边平方差的四分之一.利用该公式来计算直角三角形的有关面积、周长、斜边上的高等问题，显得十分简便.点击五：熟练掌握勾股定理的各种表达形式．如

4、图2，在Rt中,0,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,则c2=a2+b2,a2=c2-b2,b2=c2-a2,点击六：勾股定理的应用（1）已知直角三角形的两条边，求第三边；（2）已知直角三角形的一边，求另两条边的关系；（3）用于推导线段平方关系的问题等．（4）用勾股定理，在数轴上作出表示、、的点，即作出长为的线段．针对练习:1．下列说法正确的是（　　）A．若a、b、c是△ABC的三边，则a2＋b2＝c2ABCB．若a、b、c是Rt△ABC的三边，则a2＋b2＝c2C．若a、b、c是Rt△ABC的三边，，则a2＋b2＝c2-43-D．若a、b、c是Rt△ABC的三边，，则a2＋b2＝

5、c22．一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（）A．斜边长为25B．三角形周长为25C．斜边长为5D．三角形面积为203．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（）A．0B．1C．2D．34．如图，数轴上的点A所表示的数为x，则x2—10的立方根为（）A．-10B．--10C．2D．-25．把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（）A．2倍B．4倍C．6倍D．8倍6．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当它把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（

6、）A．8cmB．10cmC．12cmD．14cm7．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为（　　　）A．42B．32C．42或32D．37或33abcl8．如图，直线上有三个正方形，若的面积分别为5和11，则的面积为（　　）（Ａ）4（Ｂ）6（Ｃ）16（Ｄ）559.已知直角三角形的周长为2＋，斜边上的中线为1，求它的面积.10.直角三角形的面积为120，斜边长为26，求它的周长.-43-11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AB=13cm，AC于BC之和等于17cm，求CD的长.类型之一：勾股定理例1：如果直角三角形的斜边与一条直角边

7、的长分别是13cm和5cm，那么这个直角三角形的面积是cm2．AB图3⑴解析：欲求直角三角形的面积，已知一直角三角形的斜边与一条直角边的长，则求得另一直角边的长即可．根据勾股定理公式的变形，可求得．解：由勾股定理，得132－52=144，所以另一条直角边的长为12．所以这个直角三角形的面积是×12×5=30（cm2）．例2：如图3(1),一只蚂蚁沿棱长为a的正方体表面从顶点A爬到顶点B,则它走过的最短路程为()A．B．C．3aD．解