高二数学附加题练习--矩阵

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1、高二数学附加题练习—矩阵1．求矩阵A＝的逆矩阵．解　设矩阵A的逆矩阵为，则＝，即＝.故解得从而A的逆矩阵为A－1＝.2．平面直角坐标系xOy中，设椭圆4x2＋y2＝1在矩阵A＝对应的变换作用下得到曲线F，求F的方程．解：设P(x0，y0)是椭圆上任意一点，点P(x0，y0)在矩阵A对应的变换下变为点P′(x′0，y′0)则有＝，即∴又∵点P在椭圆上，故4x＋y＝1，从而x＋y＝1.∴曲线F的方程是x2＋y2＝1.3．若点A(2,2)在矩阵M＝对应变换的作用下得到的点为B(－2,2)，求矩阵M的逆矩阵．解：由

2、题意，知M＝，即＝，∴解得∴M＝.由M－1M＝，解得M－1＝.4．已知二阶矩阵A＝，矩阵A属于特征值λ1＝－1的一个特征向量为a1＝，属于特征值λ2＝4的一个特征向量为a2＝，求矩阵A.解：由特征值、特征向量定义可知，Aa1＝λ1a1，即＝－1×，得同理可得解得a＝2，b＝3，c＝2，d＝1.因此矩阵A＝.5．已知矩阵M＝，求M的特征值及属于各特征值的一个特征向量．解：由矩阵M的特征多项式f(λ)＝＝(λ－3)2－1＝0，解得λ1＝2，λ2＝4，即为矩阵M的特征值．设矩阵M的特征向量为，当λ1＝2时，由M＝

3、2，可得可令x＝1，得y＝1，∴α1＝是M的属于λ1＝2的特征向量．[来源:学,科,网当λ2＝4时，由M＝4，可得取x＝1，得y＝－1，∴α2＝是M的属于λ2＝4的特征向量．6．设矩阵M＝(其中a>0，b>0)．(1)若a＝2，b＝3，求矩阵M的逆矩阵M－1；(2)若曲线C：x2＋y2＝1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C′：＋y2＝1，求a、b的值．解：(1)设矩阵M的逆矩阵M－1＝，则MM－1＝.2又M＝.∴＝.∴2x1＝1,2y1＝0,3x2＝0,3y2＝1，即x1＝，y1＝0，x2＝0，y2＝

4、，故所求的逆矩阵M－1＝.(2)设曲线C上任意一点P(x，y)，它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点P′(x′，y′)，则＝，即又点P′(x′，y′)在曲线C′上，∴＋y′2＝1.则＋b2y2＝1为曲线C的方程．又已知曲线C的方程为x2＋y2＝1，故又a>0，b>0，∴7．已知矩阵M＝，其中a∈R，若点P(1，－2)在矩阵M的变换下得到点P′(－4,0)，求：(1)实数a的值；(2)矩阵M的特征值及其对应的特征向量．解　(1)由＝，所以2－2a＝－4.所以a＝3.(2)由(1)知M＝，则矩阵M的特征多项式

5、为f(λ)＝＝(λ－2)(λ－1)－6＝λ2－3λ－4.令f(λ)＝0，得矩阵M的特征值为－1与4.当λ＝－1时，⇒x＋y＝0.所以矩阵M的属于特征值－1的一个特征向量为.当λ＝4时，⇒2x－3y＝0.所以矩阵M的属于特征值4的一个特征向量为.2