高等数学 空间曲面和曲线.ppt

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1、曲面在空间解析几何中被看作点的轨迹.曲面方程的定义：8.3空间曲面和曲线8.3.1空间曲面方程(2)不在曲面上的点的坐标都不满足方程；(1)曲面上任一点的坐标都满足方程；如果曲面与三元方程有下述关系：而曲面S称为方程的图形.那么,方程就称为曲面S的方程,解由题意，有所求方程为特别地,球心在原点的球面方程为即设是球面上任一点，例1建立球心在点半径为R的球面方程.球面的一般方程为经配方,可化为球面的标准方程.例如配方后得例如与分别表示上、下半球面.定义绕其平面上的一条直线这条定直线叫旋转曲面的轴.此曲线称母线

2、.称为旋转曲面.旋转一周所成的曲面,为方便,常把曲线所在一条平面曲线母线轴作坐标轴.平面取作坐标面,旋转轴取将代入得所求方程为现求yOz坐标面上的已知曲线绕z轴旋转一周的旋转曲面方程.(2)点M到z轴的距离xOz坐标面上的已知曲线绕x轴旋转一周的旋转曲面方程为绕y轴旋转一周的旋转曲面方程为同理：yOz坐标面上的已知曲线解圆锥面方程所得旋转曲面称为圆锥面.两直线的交点称为圆锥面的顶点,两直线的夹角圆锥面的半顶角.称为试建立顶点在坐标原点O,旋半顶角为的圆锥面的方程.转轴为z轴,面上直线方程为例2直线L绕另一

3、条与L相交的直线旋转一周圆锥面的方程也可写成圆锥面的几种常用形式与分别表示开口朝上与朝下的半锥面.旋转椭球面旋转抛物面例3将下列各曲线绕对应的轴旋转一周,求生成的旋转曲面的方程．(1)yoz面上的椭圆绕y轴和z轴;(2)yoz面上的抛物线绕z轴;绕y轴旋转绕z轴旋转定义平行于定直线并沿定曲线C这条定曲线C称为柱面的准线,动直线L称为柱面的母线.所形成的曲面称为柱面.移动的直线L准线母线柱面举例抛物柱面平面从柱面方程看柱面的特征：(其他类推)在空间直角坐标系中表示平行于z轴的柱面,其准线为xOy面上的曲线C

4、.椭球面三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面．(与同号)椭圆抛物面zxyoxyzo特殊地:当时,方程变为旋转抛物面分别表示开口朝上与朝下的旋转抛物面.例如与(与同号)双曲抛物面(马鞍面)设图形如下：单叶双曲面xyoz双叶双曲面xyo空间曲线的一般方程空间曲线C可看作空间两曲面的交线.特点:曲线上的点都满足方程,满足方程的点都在曲线上,不在曲线上的点不能同时满足两个方程.8.3.2空间曲线方程例4方程组表示怎样的曲线?解表示圆柱面，表示平面，交线为椭圆C例5方程组表示怎样的曲线?解上半球面(如图)圆柱面(如

5、图)交线为蓝色部分(如图)称为空间曲线的参数方程随着参数的变化可得到曲线上的就得到曲线上的一个点全部点.动点从A点出发,螺旋线的参数方程取时间t为参数,解经过t时间,运动到M点.那末点M构成的图形称为螺旋线.试建立其参数方程.M在xOy面的投影轴的正方向上升例6如果空间一点M在圆柱面上以角速度ω绕z轴旋转,同时又以线速度v沿平行于z消去变量z后得：——曲线关于xOy的投影柱面.设空间曲线C的一般方程：投影柱面的特征：此柱面必包含曲线C,以曲线C为准线、C母线垂直于所投影的坐标面.类似地:可定义空间曲线在其

6、它坐标面上的投影.yOz面上的投影曲线xOz面上的投影曲线空间曲线在xOy面上的投影曲线(或称投影)(即为曲线关于xOy面的投影柱面)(即为xOy面)C(即为投影柱面与xOy面的交线)解交线方程为消去z得投影柱面的交线关于xOy面的投影柱面和在xOy面上的投影曲线方程.例7求椭圆抛物面与抛物柱面例8设一立体,由上半球面解半球面和锥面的交线为的投影.和锥面所围成,求它在xOy面上