江苏专用2019高考数学二轮复习专题四第3讲解析几何中的定点、定值与最值、范围问题学案理.doc

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1、第3讲　解析几何中的定点、定值与最值、范围问题高考定位　解析几何中的综合问题包括：探索性问题、定点与定值问题、范围与最值问题等，一般试题难度较大.这类问题以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，需要综合运用函数与方程、不等式、平面向量等诸多知识以及数形结合、分类讨论等多种数学思想方法进行求解，对考生的代数恒等变形能力、计算能力等有较高的要求.真题感悟(2017·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂

2、线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2.(1)求椭圆E的标准方程；(2)若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标.解　(1)设椭圆的半焦距为c.因为椭圆E的离心率为，两准线之间的距离为8，所以＝，＝8，解得a＝2，c＝1，于是b＝＝，因此椭圆E的标准方程是＋＝1.(2)由(1)知，F1(－1，0)，F2(1，0).设P(x0，y0)，因为P为第一象限的点，故x0>0，y0>0.当x0＝1时，l2与l1相交于F1，与题设不符.当x0≠1时，直线PF1的斜率为，直线PF2的斜率为.因为l1⊥PF1，l2⊥PF2，所以直线l1的斜率为－，直线l2的斜率为

3、－，从而直线l1的方程：y＝－(x＋1)，①直线l2的方程：y＝－(x－1).②由①②，解得x＝－x0，y＝，所以Q.因为点Q在椭圆上，由对称性，得＝±y0，即x－y＝1或x＋y＝1.又P在椭圆E上，故＋＝1.由解得x0＝，y0＝；无解.因此点P的坐标为.考点整合1.定值、定点问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点，就是要求的定点.解决这类问题的关键就是引进参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响

4、的量.2.圆锥曲线中最值问题主要是求线段长度的最值、三角形面积的最值等.(1)椭圆中的最值F1，F2分别为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为椭圆上的任意一点，B为短轴的一个端点，O为坐标原点，则有①OP∈[b，a]；②PF1∈[a－c，a＋c]；③PF1·PF2∈[b2，a2]；④∠F1PF2≤∠F1BF2.(2)双曲线中的最值F1，F2分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P为双曲线上的任一点，O为坐标原点，则有①OP≥a；②PF1≥c－a.3.求解圆锥曲线中的范围问题的关键是选取合适的变量建立目标函数和不等关系.该问题主要有以下三种

5、情况：(1)距离型：若涉及焦点，则可以考虑将圆锥曲线定义和平面几何性质结合起来求解；若是圆锥曲线上的点到直线的距离，则可设出与已知直线平行的直线方程，再代入圆锥曲线方程中，用判别式等于零求得切点坐标，这个切点就是距离取得最值的点，若是在圆或椭圆上，则可将点的坐标以参数形式设出，转化为三角函数的最值求解.(2)斜率、截距型：一般解法是将直线方程代入圆锥曲线方程中，利用判别式列出对应的不等式，解出参数的范围，如果给出的只是圆锥曲线的一部分，则需要结合图形具体分析，得出相应的不等关系.(3)面积型：求面积型的最值，即求两个量的乘积的范围，可以考虑能否使用不等式求

6、解，或者消元转化为某个参数的函数关系，用函数方法求解.热点一　定点与定值问题[考法1]　定点的探究与证明【例1－1】(2017·南京、盐城调研)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2＋y2＝4，椭圆Ω：＋y2＝1，A为椭圆右顶点，过原点O且异于坐标轴的直线与椭圆Ω交于B，C两点，直线AB与圆O的另一交点为P，直线PD与圆O的另一交点为Q，其中D.设直线AB，AC的斜率分别为k1，k2.(1)求k1k2的值；(2)记直线PQ，BC的斜率分别为kPQ，kBC，是否存在常数λ，使得kPQ＝λkBC？若存在，求出λ值；若不存在，说明理由；(3)求证：直线A

7、C必过点Q.(1)解　设B(x0，y0)，则C(－x0，－y0)，＋y＝1，因为A(2，0)，所以k1＝，k2＝，所以k1k2＝·＝＝＝－.(2)解　存在.设直线AP方程为y＝k1(x－2)，联立得(1＋k)x2－4kx＋4(k－1)＝0，解得xP＝，yP＝k1(xP－2)＝，联立得(1＋4k)x2－16kx＋4(4k－1)＝0，解得xB＝，yB＝k1(xB－2)＝，所以kBC＝＝，kPQ＝＝＝，所以kPQ＝kBC，故存在常数λ＝，使得kPQ＝kBC.(3)证明　设直线AC方程为y＝k2(x－2)，当直线PQ与x轴垂直时，Q，则P，所以k1＝－，即B(0，

8、1)，C(0，－1)，所以k2＝，则kAQ＝＝＝k2，所以直线AC