全国通用版2019版高考数学大一轮复习不等式选讲第2节不等式的证明学案文新人教A版.doc

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1、第2节　不等式的证明最新考纲　通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法.知识梳理1.基本不等式定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立.定理2：如果a，b>0，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均.定理3：如果a，b，c∈R＋，那么≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立.2.不等式的证明方法(1)比较法①作差法(a，b∈R)：a－b>0⇔a>b；a－b<0⇔a0，b>0)：>1⇔a>b；<1⇔a

2、综合法：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立.综合法又叫顺推证法或由因导果法.②分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法.诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)比较法最终要判断式子的符号得出结论.(　　)(2)综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论.(　　)(3)分析法又叫逆推证法或执果索因法，是从待证结论出发，一步一

3、步地寻求结论成立的必要条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实.(　　)(4)使用反证法时，“反设”不能作为推理的条件应用.(　　)答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×2.若a>b>1，x＝a＋，y＝b＋，则x与y的大小关系是(　　)A.x>yB.xb>1得ab>1，a－b>0，所以>0，即x－y>0，所以x>y.答案　A3.(选修4－5P23习题2.1T1改编)已知a≥b>0，M＝2a3－b3，N＝2ab2－a2b，则M，N的大小关系为________.解析　2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－

4、b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b).因为a≥b>0，所以a－b≥0，a＋b>0，2a＋b>0，从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，故2a3－b3≥2ab2－a2b.答案　M≥N4.已知a>0，b>0且ln(a＋b)＝0，则＋的最小值是________.解析　由题意得，a＋b＝1，a>0，b>0，∴＋＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4.当且仅当a＝b＝时等号成立.∴＋的最小值是4.答案　45.已知x>0，y>0，证明：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy.证明　因为x>0，y>0，所以1＋x＋y2≥3>0，1＋x2＋y≥3>0

5、，故(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥3·3＝9xy.考点一　比较法证明不等式【例1－1】(2017·江苏卷)已知a，b，c，d为实数，且a2＋b2＝4，c2＋d2＝16.试证明：ac＋bd≤8.证明　∵(a2＋b2)(c2＋d2)－(ac＋bd)2＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2－(a2c2＋b2d2＋2acbd)＝b2c2＋a2d2－2acbd＝(bc－ad)2≥0，∴(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，又a2＋b2＝4，c2＋d2＝16.因此(ac＋bd)2≤64，从而ac＋bd≤8.【例1－2】(一题多解)已知a>0，b>0，求证：＋≥＋.证明　法一　因为

6、＋－(＋)＝＝，∵a>0，b>0，∴>0.因此＋≥＋.法二　由于＝＝＝－1≥－1＝1.又a>0，b>0，>0，所以＋≥＋.规律方法　1.作差(商)证明不等式，关键是对差(商)式进行合理的变形，特别注意作商证明不等式，不等式的两边应同号.2.在例1－2证明中，法一采用局部通分，优化了解题过程；在法二中，利用不等式的性质，把证明a>b转化为证明>1(b>0).提醒　在使用作商比较法时，要注意说明分母的符号.【训练1】设a，b是非负实数，求证：a2＋b2≥(a＋b).证明　因为a2＋b2－(a＋b)＝(a2－a)＋(b2－b)＝a(－)＋b(－)＝(－)(a－b)＝(a－b)(a－b).因

7、为a≥0，b≥0，所以不论a≥b≥0，还是0≤a≤b，都有a－b与a－b同号，所以(a－b)(a－b)≥0，所以a2＋b2≥(a＋b).考点二　综合法证明不等式【例2－1】(2017·全国Ⅱ卷)已知实数a>0，b>0，且a3＋b3＝2.证明：(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；(2)a＋b≤2.证明　(1)∵a>0，b>0，且a3＋b3＝2.则(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)＝4＋ab(