十字相乘法的用法.doc

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1、十字相乘法“十字相乘法”虽然比较难学,但是学会了它,用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运算量不大，不容易出错。它在分解因式/解一元二次方程中有广泛的应用：十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。例1把m²+4m-12分解因式分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题解：因为1-21╳6所以m²+4m-12=（m-2）（m+6）例2把5x²+6x-8分解因式分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-

2、2×4，-4×2，-8×1。当二次项系数分为1×5，常数项分为-4×2时，才符合本题解：因为125╳-4所以5x²+6x-8=（x+2）（5x-4）例3解方程x²-8x+15=0分析：把x²-8x+15看成关于x的一个二次三项式，则15可分成1×15，3×5。解：因为1-31╳-5所以原方程可变形（x-3）（x-5）=0所以x1=3x2=5例4、解方程6x²-5x-25=0分析：把6x²-5x-25看成一个关于x的二次三项式，则6可以分为1×6，2×3，-25可以分成-1×25，-5×5，-25×1。解：因为2-53╳5所以原方程可变形成（2x-5）（3x+5）

3、=0所以x1=5/2x2=-5/3用十字相乘法解一些比较难的题目：例5把14x²-67xy+18y²分解因式分析：把14x²-67xy+18y²看成是一个关于x的二次三项式,则14可分为1×14,2×7,18y²可分为y.18y,2y.9y,3y.6y解:因为2-9y7╳-2y所以14x²-67xy+18y²=(2x-9y)(7x-2y)例6把10x²-27xy-28y²-x+25y-3分解因式分析：在本题中，要把这个多项式整理成二次三项式的形式解法一、10x²-27xy-28y²-x+25y-3=10x²-（27y+1）x-（28y²-25y+3）4y-37y

4、╳-1=10x²-（27y+1）x-（4y-3）（7y-1）2-（7y–1）5╳4y-3=[2x-（7y-1）][5x+（4y-3）]=（2x-7y+1）（5x+4y-3）说明：在本题中先把28y²-25y+3用十字相乘法分解为（4y-3）（7y-1），再用十字相乘法把10x²-（27y+1）x-（4y-3）（7y-1）分解为：[2x-（7y-1）][5x+（4y-3）]解法二、10x²-27xy-28y²-x+25y-32-7y5╳4y=（2x-7y）（5x+4y）-（x-25y）-32x-7y15x+4y╳-3=[（2x-7y）+1][（5x+4y）-3]=

5、（2x-7y+1）（5x+4y-3）说明:在本题中先把10x²-27xy-28y²用十字相乘法分解为（2x-7y）（5x+4y）,再把（2x-7y）（5x+4y）-（x-25y）-3用十字相乘法分解为[（2x-7y）+1][（5x+4y）-3].例7：解关于x方程：x²-3ax+2a²–ab-b²=0分析：2a²–ab-b²可以用十字相乘法进行因式分解解：x²-3ax+2a²–ab-b²=0x²-3ax+（2a²–ab-b²）=01-b2╳+bx²-3ax+（2a+b）（a-b）=01-（2a+b）1╳-（a-b）[x-（2a+b）][x-（a-b）]=0所以x

6、1=2a+bx2=a-b两种相关联的变量之间的二次函数的关系，可以用三种不同形式的解析式表示：一般式、顶点式、交点式交点式．利用配方法，把二次函数的一般式变形为：Y=a[(x+b/2a)2-(b2-4ac)/4a2]应用平方差公式对右端进行因式分解，得Y=a[x+b/2a+√b2-4ac/2a][x+b/2a-√b2-4ac/2a]=a[x-(-b-√b2-4ac)/2a][x-(-b+√b2-4ac)/2a]因为一元二次方程ax2+bx+c=0的两根分别为x1，x2=(-b±√b2-4ac)/2a所以上式可写成y=a(x-x1)(x-x2),其中x1，x2是方

7、程ax2+bx+c=0的两个根因x1，x2恰为此函数图象与x轴两交点（x1，0），（x2，0）的横坐标，故我们把函数y=a(x-x1)(x-x2)叫做函数的交点式．在解决二次函数的图象和x轴交点坐标有关的问题时，使用交点式较为方便。二次函数的交点式还可利用下列变形方法求得：设方程ax2+bx+c=0的两根分别为x1，x2根据根与系数的关系x1+x2=-b/a，x1x2=c/a，有b/a=-(x1+x2),c/a=x1x2∴y=ax2+bx+c=a[x2+b/a*x+c/a]=a[x2-(x1+x2)x+x1x2]=a(x-x1)(x-x2)