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1、高二数学讲义第七讲直线与椭圆的位置关系椭圆性质1.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.2.PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.4.若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.5.若在椭圆外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.6.椭圆(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为.7.椭圆（a＞b＞0）的焦半径公式：,(,).其中e=c/a.8.设过椭圆焦点F作直线与椭
2、圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.9.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.10.AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。11.若在椭圆内，则被Po所平分的中点弦的方程是.12.若在椭圆内，则过Po的弦中点的轨迹方程是.13.椭圆与直线有公共点的充要条件是.第25页共25页一.课内基础练习题一、选择题：1、已知F1,F2是定点，
3、F1F2
4、=8,动点M满足
5、MF1
6、+
7、MF2
8、=8，则点M
9、的轨迹是（）（A）椭圆（B）直线（C）圆（D）线段2、过椭圆的一个焦点的直线与椭圆交于、两点，则、与椭圆的另一焦点构成，那么的周长是（）A.B.2C.D.13、椭圆的一焦点与两顶点为等边三角形的三个顶点，则椭圆的长轴长是短轴长的()(A)倍(B)2倍(C)倍(D)倍翰林汇4、曲线与曲线(m<9)一定有()(A)相等的长轴长(B)相等的焦距(C)围成的面积相等(D)相同的通径二、填空题5、设椭圆的标准方程为，则k的取值范围是6、已知椭圆=1的焦距为4，则这个椭圆的焦点坐标是__翰林汇7、已知圆为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，则点M的轨迹方程为。8、△ABC的两个顶点坐标分
10、别是B(0，6)和C(0，-6)，另两边AB、AC的斜率的乘积是-，那么顶点A的轨迹方程为.9．直线与曲线的公共点的个数为（）(A)1(B)2(C)3(D)4第25页共25页二.应用椭圆性质解题例1、椭圆上的点到焦点的距离为2，为的中点，则（为坐标原点）的值为()A．4 B．2 C．8 D．例2 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过和两点的椭圆方程．例3.已知方程x2cosθ+y2sinθ=1,θ∈(0,π/2)讨论方程表示的曲线的形状例4.以椭圆的焦点为焦点，过直线上一点作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点应在何处？并求出此时的椭圆方程．1.弦长问题例5.设椭圆6x2+
11、2y2=12中有一内接三角形PAB,过O,P的直线的倾斜角为(1)试证过A,B的直线的斜率是定值;(2)求ΔPAB面积的最大值.第25页共25页例6.已知长轴为12，短轴长为6，焦点在轴上的椭圆，过它的左焦点作倾斜解为的直线交椭圆于，两点，求弦的长．2.对称问题:例7.给定椭圆C:x2+4y2=4.(1)若A,B是曲线C上关于坐标轴不对称的任意相异两点,求这两点的对称轴L在x轴上的截距t的取值范围;(2)对于(1)中的t的取值范围内的to,过点M(to,0)作直线L,设L是曲线C上关于坐标轴不对称的两点A,B的对称轴,求直线L的斜率k的取值范围.3.成比例线段例8.椭圆E中心在
12、原点O,焦点在x轴上,其焦距与长轴长之比为,过点C(-1,0)的直线L与椭圆E相交于A、B两点，且C分有向线段的比为2.（Ⅰ）用直线l的斜率k(k≠0)表示△OAB的面积;（Ⅱ）当△OAB的面积最大时，求椭圆E的方程.4.与向量有关例9.设x、y∈R，i、j为直角坐标平面内x、y轴正方向上的单位向量，若向量a=xi+(y+2)j,b=xi+(y-2)j,｜a｜+｜b｜=8.(1)求点M(x,y)的轨迹C的方程；(2)过点(0，3)作直线l与曲线C交于A、B两点，设是否存在这样的直线l，使得四边形OAPB是矩形?若存在，求出直线l的方程；若不存在，试说明理由.第25页共25页
13、5.轨迹问题例10.椭圆x2+2y2=8和点P(4,1),过P作直线交椭圆于A(x1,y1),B(x2,y2),在AB上取点Q满足条件:求Q点的轨迹方程.例11.的底边，和两边上中线长之和为30，求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹．例12.已知动圆过定点，且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程．第25页共25页6.点差法例13.已知椭圆，（1）求过点且被平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过Q(2,1)引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）椭
