高二数学椭圆与直线的位置关系

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1、椭圆与直线的位置关系（1）教学目标：1.掌握直线与椭圆的位置关系的判断方法；2.能熟练地运用弦长公式求椭圆与直线相交时的弦长问题。教学重、难点：能熟练地运用弦长公式求椭圆与直线相交时的弦长问题。教学过程：（一）复习：圆与直线的位置关系的判定方法；（1）代数方法：消元，判断△；（2）几何方法：圆心到直线的距离与圆半径进行比较。（二）新课讲解：1．椭圆与直线的位置关系的判定：例1．当m为何值时，直线与椭圆相交？相切？相离？解：由得，∴当，即时，直线和椭圆相交；当，即时，直线和椭圆相切；当，即或时，直线和椭圆相离。说明：直线与椭圆的位置关系可由它们的交点个数来

2、判断，即通过直线与椭圆方程联立的方程组的解的个数来判断。例2．如图，已知椭圆的焦点分别是、，过中心O作直线与椭圆相交于A、B两点，若要使的面积是20，求该直线方程。解：∵，∴可设AB所在直线方程为，ABF2F1由消去x得：，∴，∴，由得，∴直线AB的方程为，即．说明：⑴此题要能注意到是有公共边的两个和的面积之和，故只需构造关于y的一元二次方程，利用韦达定理求出两个三角形高的和；⑵设直线方程为比设好，可避免讨论斜率不存在的情况。（3）也可以连接BF1，则例3、已知椭圆的焦点分别是、，点P在椭圆上，，求证：的面积为。2．弦长问题：例4．求直线被椭圆所截得的弦

3、长。解：（法一）由得或，∴弦长为．（法二）设直线与椭圆的交点为，，由消去y得，∴，，∴弦长．说明：弦长公式，不仅适用于圆，也适用于椭圆及双曲线等二次曲线。例5.过椭圆C：的右焦点，作一直线交椭圆C与M、N两点，且M、N两点到直线的距离之和为，求直线的方程。解：∵椭圆C的右焦点为：（，0），_F2_F1_1_MONXY右准线为，离心率为，∴其中分别为M、N到准线的距离，∵，∴设的方程为：，由消去y得：，=设M、N两点的横坐标为，由题意知，，∴==，解得：（或

4、MN

5、=

6、MF2

7、+

8、NF2

9、=2a-e（x1+x2），利用焦半径公式解决焦点弦的弦长问题）所求的

10、直线的方程为：或例6.已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线与该椭圆交于P和Q两点，且，，求椭圆的方程。　　分析本题也应有焦点在x轴和焦点在y轴上两种情形，但分析题目的条件可知，两种情形的解法是相同的，区别仅在于标准方程的形式不同。如果在标准方程中，取消的限制，那么它就代表了焦点在x轴上（当时）和焦点在y轴上（当时）两种情形。我们也就可以将两种情形统一解答。解：设所求椭圆方程()，由题意，点P、Q的坐标满足方程组将（2）代入（1）并整理得（3）设方程（3）的两根为，，则直线与椭圆的交点P（，），Q（，）。由题设，，可得,整理，得解这个方程组，得

11、或根据根与系数的关系，由（3）式得（Ⅰ）或（Ⅱ）解方程组（Ⅰ）、（Ⅱ）得或故所求椭圆方程为或　　说明这是91年高考文科数学最后一题。在上述的解法中，看到和能用m，n表示出来，因而先求出和的值，再用韦达定理得到关于m，n的方程，从而解出m，n，这样一种整体的解题思想十分巧妙。五．小结：1．直线与椭圆位置关系的判定方法；2．弦长问题（弦长公式）。七．作业：课本第103页第11题，第132页A组第8题，第133页B组第3题，补充：1．求中心在坐标原点，坐标轴为对称轴，过点，且与直线有且只有一个公共点的椭圆方程；2．已知直线：，椭圆C：，（1）求证：直线与椭圆C

12、有两个交点；（2）求这两个公共点所成线段的长。椭圆与直线的位置关系（2）教学目标：1.掌握直线与椭圆的关系中运用已知条件求直线或椭圆方程的方法；2.能熟练地运用相关知识解决椭圆中的对称问题。教学重、难点：目标1，2．教学过程：（一）复习：椭圆与直线的位置关系的判定方法；代数方法：消元，判断△；（二）新课讲解：3．弦所在的直线方程例1、已知椭圆，过点P（2，0）能否作直线，使得直线与椭圆相交所成弦的中点恰好是P点？解：由于椭圆是关于长轴、短轴对称的，过P且垂直于x轴的弦是关于x轴对称的，因而使得P点就是这条弦的中点，因此能作直线使得与椭圆相交成的弦的中点恰

13、好就是P。小结：从本题求得的直线：，它的斜率不存在，可是若不注意审题而把直线设成点斜式，如，和椭圆方程联立去解，不仅运算繁琐，而且结论是错误的。例2、已知一直线与椭圆相交于A、B两点，弦AB的中点坐标为M（1，1），求直线的方程。解法一：设通过M（1，1）的直线AB的方程为：，代入椭圆方程，整理得。设A、B的横坐标分别为，则，解之得：，故AB的方程为：，即：解法二：设A（），AB的中点M的坐标为（1，1），所以B点的坐标为，将A、B两点的坐标代入方程，得，①及，化简为，②②-①得：，即：，,同理有：，因为A（），B（）都满足，所以即为所求的直线方程。解法

14、三:设A（），B（）是弦的两个端点，代入椭圆方程得：①②①-②得：∵M（1，1）