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1、听课随笔第15、16课时数列复习课(2课时)一、二、数列知识回顾（一）数列的概念数列的定义（一般定义，数列与函数）、数列的表示法。数列的通项公式。求数列通项公式的一个重要方法：对于任一数列,其通项和它的前n项和之间的关系是（二）等差数列和等比数列1.等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质等差数列等比数列定义通项公式=+（n-1）d=+（n-k）d=+-d求和公式中项公式A=推广：2=。推广：性质1若m+n=p+q则若m+n=p+q，则。2若成A.P（其中）则也为A.P。若成等比数列（其中），则成等比
2、数列。3成等差数列。成等比数列。4听课随笔2.判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证都成立。14/143.在等差数列｛｝中,有关Sn的最值问题：(1)当>0,d<0时，满足的项数m使得取最大值。(2)当<0,d>0时，满足的项数m使得取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。（三）、数列求和的常用方法：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等。1.公式法:适
3、用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。2.裂项相消法:适用于其中{}是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。3.错位相减法:适用于其中{}是等差数列，是各项不为0的等比数列。4.倒序相加法:类似于等差数列前n项和公式的推导方法。5.常用结论1）:1+2+3+...+n=2）1+3+5+...+(2n-1)=3）4）5）6）【精典范例】一函数方程思想在研究数列问题中的运用听课随笔函数作为高中数学最重要的内容，几乎贯穿中学数学的始终，数列作为特殊的函数，与函数有着千丝万
4、缕的联系：数列的通项公式及前n项和公式都是关于n的函数，当d≠0时，等差数列的通项是关于n的一次函数，前n项和是关于n的一元二次函数；等比数列的通项公式及前n项和公式都与指数函数有关。14/14在解决数学问题的过程中，把变量之间的制约关系用函数关系反映出来，便形成了函数思想；把众多待求量通过列方程、解方程来确定，便形成了方程思想，函数与方程之间的辩证思维便形成了函数方程思想。因此，我们可以借助于函数的有关性质来研究数列问题。例1（1）首项为正数的等差数列｛a｝，其中S=S，问此数列前几项和最大？（2）
5、等差数列｛a｝中，S=100，S=300，求S。（3）等差数列的公差不为0，a=15,a,a,a成等比数列，求S。分析（1）等差数列前n项和S=n+(a－)n(d≠0)是关于n的二次函数且常数项为0，故可设S=An+B,运用配方法求最值；（2）由S=An+B及S=100，S=300，求出A、B后再求S。（3）求S的关键，在于求a,由a=dn+(a－d)(d≠0)知，它是关于n的一次函数，故可设a=An+B，由条件列出方程组求A、B。【解】（1）设S=An+B（A≠0），∵S=S，∴9A+3B=121A
6、+11B，即14A+B=0。又∵S=An+B=A（n+）－,∴当n=－=7时，S有最大值S。另解由S=S，得a+a+a+a+a+a+a+a=0,又∵a+a=a+a=a+a=a+a,∴4(a+a)=0,a+a=0.由于a＞0,据题意知a=－a＞0，a＜0因此，前7项和最大。听课随笔（2）设S=An+Bn(A≠0)∵S=100，S=300,∴14/14∴S=900×+30×5=600。另解∵S=100，S=300，又S，S－S，S－S成等差数列。∴S－S=2（S－S）－S∴S=600（3）设a=An+B(
7、A≠0)∵a=15,a=a·a,∴∴a=2n－1∴S=(2×1－1)+(2×2－1)+…+（2×n－1）=2×(1+2+…+n)－n=n(n+1)－n=n.评析从函数角度考察等差数列中的通项公式，前n项和公式，从而把数列问题转化为函数解决，体现了函数的思想和方法的应用。二求数列的通项公式数列的通项公式是数列的核心之一，它如同函数中的解析式一样，有解析式便可研究其性质等；而有了数列的通项公式便可求出任一项及前n项和等，看来，求数列的通项往往是解题的突破口、关键点，现将求数列通项公式的几种题目类型及方法总
8、结如下。1.观察法观察法就是观察数列特征，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与项数n的内在联系，从而归纳出数列的通项公式。例2写出下面各数列的一个通项公式听课随笔（1），…；（2）1，－…；（3）…；14/14（4）21，203，2005，20007，…；（5）0.2,0.22,0.222,0.2222,…；（6）1，0，1，0，…；（7）1，…【解】（1）注意各项的分子分别是1，2，3，4，…，分母比分子大1，∴数列的通项公式为a=.(2)奇数项为正
