图论课件第二章 树.ppt

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1、图论及其应用应用数学学院1第二章树本章主要内容一、树的概念与性质二、生成树三、最小生成树授课学时授课学时：6学时2本次课主要内容(一)、树的概念与应用(二)、树的性质(三)、树的中心与形心31、树的概念(一)、树的概念与应用定义1不含圈的图称为无圈图，树是连通的无圈图。例如：下面的图均是树树T1树T2树T3树T44定义2称无圈图G为森林。注:(1)树与森林都是单图;(2)树与森林都是偶图。例1画出所有不同构的6阶树。解：按树中存在的最长路进行枚举。6阶树中能够存在的最长路最小值为2，最大值为5。5树是图论中应用最为广泛的一类图。在理论上，由于树的简

2、单结构，常常是图论理论研究的“试验田”。在实际问题中，许多实际问题的图论模型就是树。例2族谱图与树2、树的应用要把一个家族的繁衍情况简洁直观表达出来，用点表示家族中成员，成员x是成员y的儿女，把点x画在点y的下方，并连线。如此得到的图，是一颗树，称为根树。示意如下：根树6实际上，根树是许多问题的模型，如社会结构，计算机数据结构，数学中的公式结构，分类枚举表示等。例3道路的铺设与树假设要在某地建造5个工厂，拟修筑道路连接这5处。经勘探，其道路可按下图的无向边铺设。现在每条边的长度已经测出并标记在图的对应边上，如果我们要求铺设的道路总长度最短，这样既能

3、节省费用，又能缩短工期，如何铺设？7该问题归结于在图中求所谓的最小生成树问题。或称为赋权图中的最小连接问题。例4化学中的分子结构与树例如：C4H10的两种同分异构结构图模型为：hhhhhhhhhhhhhhhhhhhh8例5电网络中独立回路与图的生成树早在19世纪，图论还没有引起人们关注的时候，物理学家克希荷夫就已经注意到电路中的独立回路与该电路中的所谓生成树的关系。即：如果电路是(n,m)图，则独立回路的个数为m-n+1.并且，生成树添上生成树外的G的一条边，就可以得到一独立回路。例6通信网络中的组播树在单播模型中，数据包通过网络沿着单一路径从源主

4、机向目标主机传递，但在组播模型中，组播源向某一组地址传递数据包，而这一地址却代表一个主机组。为了向所有接收者传递数据，一般采用组播分布树描述IP组播在网络里经过的路径。组播分布树有四种基本类型：泛洪法、有源树、有核树和Steiner树。9总之，树在图论研究和图论应用上都是十分典型的特殊图。定理1每棵非平凡树至少有两片树叶。证明设P=v1v2…vk是非平凡树T中一条最长路，则v1与vk在T中的邻接点只能有一个，否则，要么推出P不是最长路，要么推出T中存在圈，这都是矛盾！即说明v1与v2是树叶。定理2图G是树当且仅当G中任意两点都被唯一的路连接。证明：

5、“必要性”若不然，设P1与P2是连接u与v的两条不同的路。则(二)、树的性质10由这两条路的全部或部分将构成一个圈，这与G是树相矛盾。“充分性”首先，因G的任意两点均由唯一路相连，所以G是连通的。其次，若G中存在圈，则在圈中任取点u与v，可得到连接u与v的两条不同的路，与条件矛盾。定理3设T是(n,m)树，则：证明：对n作数学归纳。11当n=1时，等式显然成立；设n=k时等式成立。考虑n=k+1的树T。由定理1T中至少有两片树叶，设u是T中树叶，考虑T1=T-u,则T1为k阶树，于是m(T1)=k-1,得m(T)=k。这就证明了定理3。例7设T为1

6、2条边的树，其顶点度为1,2,5。如果T恰有3个度为2的顶点，那么T有多少片树叶？解：设T有x片树叶。由m=n-1得n=13.于是由握手定理得：12得x=8例8设T为(n,m)树，T中有ni个度为i的点(1≦i≦k),且有：∑ni=n.证明：证明：由m=n-1得：又由握手定理得：由上面两等式得：13推论1具有k个分支的森林有n-k条边。证明：设森林G的k个分支为Ti(1≦i≦k).对每个分支，使用定理3得：所以：定理4每个n阶连通图的边数至少为n-1.证明：如果n阶连通图没有一度顶点，那么由握手定理有：14如果G有一度顶点。对顶点数作数学归纳。当n

7、=1时，结论显然设当n=k时，结论成立。当n=k+1时，设u是G的一度顶点，则G-u为具有k个顶点的连通图。若G-u有一度顶点，则由归纳假设，其边数至少k-1,于是G的边数至少有k条；若G-u没有一度顶点，则由握手定理：所以G-u至少有k+1条边。15而当G是树时，边数恰为n-1.所以n阶连通图G至少有n-1条边。所以，树也被称为最小连通图。定理5任意树T的两个不邻接顶点之间添加一条边后，可以得到唯一圈。证明：设u与v是树T的任意两个不邻接顶点，由定理2知：有唯一路P连接u与v.于是P∪｛uv｝是一个圈。显然，由P的唯一性也就决定了P∪｛uv｝的唯

8、一性。例9设G是树且Δ≧k,则G至少有k个一度顶点。证明：若不然，设G有n个顶点，至多k-1个一度顶点，由于Δ≧k，于是，