图论课件--最小生成树.ppt

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1、图论及其应用应用数学学院1本次课主要内容最小生成树(一)、克鲁斯克尔算法(二)、管梅谷的破圈法(三)、Prim算法(四)、计算机中的树简介2最小连接问题：交通网络中，常常关注能把所有站点连接起来的生成树，使得该生成树各边权值之和为最小。例如：假设要在某地建造5个工厂，拟修筑道路连接这5处。经勘探，其道路可按下图的无向边铺设。现在每条边的长度已经测出并标记在图的对应边上，如果我们要求铺设的道路总长度最短，这样既能节省费用，又能缩短工期，如何铺设？v1v2v3v4v5122434553v1v2v3v4v51223不难发现：最小代价的连接方式为：最小连接问题的一般提法为：在连通

2、边赋权图G中求一棵总权值最小的生成树。该生成树称为最小生成树或最小代价树。(一)、克鲁斯克尔算法4克鲁斯克尔(Kruskal):1928年生，一家3弟兄都是数学家，1954年在普林斯顿大学获博士学位，导师是ErdÖs,他大部分研究工作是数学和语言学，主要在贝尔实验室工作。1956年发表包含克鲁斯克尔算法论文，使他名声大振。1、算法思想从G中的最小边开始，进行避圈式扩张。2、算法(1)、选择边e1,使得其权值最小；(2)、若已经选定边e1,e2,…,ek,则从E-｛e1,e2,…,ek｝中选择边ek+1,使得：(a)、G[e1,e2,…,ek+1]为无圈图(b)、ek+1的

3、权值w(ek+1)尽可能小。5(3)、当(2)不能进行时，停止。例1用克鲁斯克尔算法求下图的最小生成树。3v721546789101112v1v2v3v4v5v6v86解：过程如下：1v5v821v1v5v8321v1v4v5v83v7215v1v4v5v83v72156v1v4v5v8v373v72156v1v4v5v8v3v683v72156v1v4v5v8v3v68v292、算法证明定理1由克鲁斯克尔算法得到的任何生成树一定是最小生成树。证明：设G是一个n阶连通赋权图，用T*=G[｛e1,e2,…,en-1｝]表示由克鲁斯克尔算法得到的一棵生成树，我们证明：它是最小

4、生成树。8设T是G的一棵最小生成树。若T*≠T由克鲁斯克尔算法容易知道：T∩T*≠Φ。于是令f(T)=k表示T*中的边ei不在T中的最小i值。即可令T=G[｛e1,e2,…,ek-1,e'k,…,e'n｝]考虑：T∪ek,则由树的性质，它必然为G中圈。作T1=T∪ek-e,容易知道：T1还为G的一棵生成树。设e是圈T∪ek中在T中，但不在T*中的边。由克鲁斯克尔算法知道：所以：这说明T1是最小树，但这与f(T)的选取假设矛盾！所以：T=T*.9例2在一个边赋权G中，下面算法是否可以产生有最小权值的生成路？为什么？算法:(1)选一条边e1,使得w(e1)尽可能小；(2)若边

5、e1,e2,…,ei已经选定，则用下述方法从E｛e1,..,ei｝中选取边ei+1：(a)G[｛e1,e2,…,ei,ei+1｝]为不相交路之并；(b)w(ei+1)是满足(a)的尽可能小的权。(3)当(2)不能继续执行时停止。解：该方法不能得到一条最小生成路。10例如，在下图G中我们用算法求生成路：3122343667910用算法求出的生成路为：12269311直接在图中选出的一条生成路为：123366后者的权值小于前者。(二)、管梅谷的破圈法在克鲁斯克尔算法基础上，我国著名数学家管梅谷教授于1975年提出了最小生成树的破圈法。12管梅谷（１９３４－）。我国著名数学家

6、，曾任山东师范大学校长。中国运筹学会第一、二届常务理事，第六届全国政协委员。从事运筹学及其应用的研究，对最短投递路线问题的研究取得成果，冠名为中国邮路问题，该问题被列入经典图论教材和著作。管梅谷教授1957年至1990年在山东师范大学工作。1984年至1990年担任山东师范大学校长，1990年至1995年任复旦大学运筹学系主任。1995年至今任澳大利亚皇家墨尔本理工大学交通研究中心高级研究员，国际项目办公室高级顾问及复旦大学管理学院兼职教授。自1986年以来，管教授致力于城市交通规划的研究，在我国最早引进加拿大的交通规划EMMEⅡ软件，取得一系列重要研究成果。13破圈法求

7、最小生成树的求解过程是：从赋权图G的任意圈开始，去掉该圈中权值最大的一条边，称为破圈。不断破圈，直到G中没有圈为止，最后剩下的G的子图为G的最小生成树。证明可以参看《数学的认识与实践》4，(1975),38-41。3122343667910例3用破圈法求下图G的最小生成树。14312234366710解：过程如下：312234667103122366710312266710312266731226615(三)、Prim算法Prim算法是由Prim在1957年提出的一个著名算法。作者因此而出名。Prim(1921---)1949