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1、第5章微积分的应用微积分在实际问题中应用非常广泛，特别是微分方程可以解决许多实际问题。对于动态问题，通常可以与变化率、进而与微分方程联系起来。可以考虑建立微分方程模型。1.雨中行走问题人在雨中沿直线从一处向另一处行走,当雨的速度已知时,问人行走的速度多大时才能使淋雨量最小?假设1.人行走的路线为直线，行走距离为L。2.雨的速度不变。3.人体为长方体。分析：走的越快淋雨量越少吗？降雨速度变化吗？人身体的表面？行走的路线如何？淋雨量：通量！选择适当的直角坐标系,使人行走速度为：v1=(u,0,0)记雨的速度为：v2=(vx,vy,vz),相对速度：v=v2-v1=(vx-u,vy
2、,vz)人身体的表面非常复杂,为了使问题简化,将人体表面投影到三个坐标面，故可视为长方体，设其前、侧、顶的面积之比为1:b:c。单位时间内的淋雨量正比于
3、vx－ｕ
4、＋
5、vy
6、ｂ＋
7、vz
8、ｃ从而总淋雨量正比于R(u)=(
9、vx－ｕ
10、＋
11、vy
12、ｂ＋
13、vz
14、ｃ)T,(行走的时间为L/u.)=(
15、vx－ｕ
16、+a)L/u(a=
17、vy
18、b+
19、vz
20、c>0)=即问题化为vx>a;当vx>a时,u=vx,R(u)达到最小值.2.vx=a;当vx=a时,在u大于等于vx处,R(u)都取到最小值.3.vxa时,行走速度为,淋雨量最小,当vx=a
21、时,行走速度不小于,淋雨量最小.当vx>a时,走的越快,淋雨量越小.2.服药问题医生给病人开处方时必须注明两点：服药的剂量和服药的时间间隔。超剂量的药品会对身体产生严重不良后果,甚至死亡,而剂量不足,则不能达到治病的目的。已知患者服药后,随时间推移,药品在体内逐渐被吸收,发生生化反应,也就是体内药品的浓度逐渐降低。药品浓度降低的速率与体内当时药品的浓度成正比。在等间隔服药，一次服药量为A的情况下，试分析体内药的浓度随时间的变化规律.假设当一次服药量为A时，体内药品的浓度瞬间增加a。记T—服药间隔x(t)—t时刻体内药品的浓度单次服药由药品浓度降低的速率与体内当时药品的浓度成正比,
22、得：等间隔多次服药(服药的脉冲性)：在区间[nT,(n+1)T)上求解方程得x(t)=x(nT)e-k(t-nT)t∈[nT,(n+1)T),n=0,1,2,…在区间[0,T)上解为：x(t)=ae-ktt∈[nT,(n+1)T),n=0,1,2,…在区间[T,2T)上解为：x(t)=(a+ae-kT)e-k(t-T)在区间[2T,3T)上解为：x(t)=(a+ae-kT+ae-2kT)e-k(t-2T)…在区间[nT,(n+1)T)上解为：x(t)=(a+ae-kT+ae-2kT+…+ae-nkT)e-k(t-nT)=a(1-e-(n+1)kT)/(1-e-kT)e-k(t-n
23、T)=a(1-e-(n+1)kT)/(1-e-kT)e-k(t-nT)…由此看出，药的浓度在人体中呈上升趋势，且最后稳定在一定的水平。当T=8,k=0.1,a=0.1时，数值计算的结果如下图所示：3.交通管理中的黄灯时间在十字路口的交通管理中,亮红灯之前,要亮一段时间黄灯,这是为了让那些正行驶在十字路口上或距十字路口太近以致无法停下的车辆通过路口.那么,黄灯应该亮多长时间呢?1)问题分析在十字路口行驶的车辆中,主要因素是机动车辆。驶近交叉路口的驾驶员,在看到黄色信号后要做出决定:是停还是要通过路口。假设他按法定速度(或低于法定速度)行驶。当决定停车时,他必须有足够的停车距离。
24、少于此距离时不能停车,大于此距离时必须停车。等于此距离时可以停车,也可以通过路口。当决定通过路口时,他必须有足够的时间使他完全通过路口,这包括作出决定的时间、通过十字路口的时间以及通过停车所需的最短距离的驾驶时间。于是,黄灯状态应该持续的时间包括驾驶员的决定时间(反应时间)、通过十字路口的时间和停车距离的驾驶时间。(2)建模与求解记T1——驾驶员反应时间,T2——汽车通过十字路口的时间,T3——停车距离的驾驶时间,则黄灯应亮的时间为：T=T1+T2+T3下面计算T2、T3设法定行驶速度为v0,十字路口的长度为I,典型的车身长度为L,则汽车通过十字路口的时间为:T2=(I
25、+L)/v0停车过程是通过驾驶员踩动刹车踏板产生一种摩擦力,使汽车减速直到停止。设m为汽车质量,f为刹车摩擦系数,x(t)为行驶距离。由牛顿第二定律,刹车过程满足下述运动方程对方程积分一次,并代入初始条件得令末速为零,得刹车时间为：t1=v0/fg再积分一次,并代入条件x(0)=0得故停车距离为：所以T3=x(t1)/v0=v0/(2fg)驾驶员的反应时间T1,可根据统计数据或经验得到,通常可假定为：T1=1（秒）。所以,黄灯应亮的时间为：T=(I+L)/v0+v0/(2f
