3、MN
4、=8,则
5、PF
6、等于( D )(A)(B)(C)2(D)2解析:依题意可知p=2,焦点坐标为(1,0),过F的直线l设为y=k(x-1),准线方程为x=-1,根据抛物线的定义,可知
7、MN
8、=x1+1+x2+1=8,可得x1+x2=6,因为线段MN的中点为P,所以P点的横坐标为3,由可得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,可得x1+x2=6=,解得k=±1,P的纵坐标为±2,
9、则
10、PF
11、==2.故选D.二、填空题3.(2018·吉林百校联盟联考)已知双曲线C:-=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1且与双曲线C的一条渐近线垂直的直线l与C的两条渐近线分别交于M,N两点,若
12、NF1
13、=2
14、MF1
15、,则双曲线C的渐近线方程为 . 解析:不妨设C与渐近线y=x垂直,则直线l:y=-(x+c),由得M(-,-),由得N(-,),因为
16、NF1
17、=2
18、MF1
19、,所以M为NF1的中点,所以=-,即c2=-2(a2-b2),所以a2+b2=-2a2+2b2,所以=,故双曲线的渐近线方程为y=±x.答案:y=±x三、解答题
20、4.(2018·珠海二模)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F(0,1).(1)求p的值;(2)过F的直线l交抛物线C于点A,B,以AB为直径的圆交x轴于点M,N,设AB中点为Q,求∠QMN的最小值,并求此时直线l的方程.解:(1)因为抛物线的焦点为F(0,1),所以=1,即p=2.(2)由(1)可知抛物线C:x2=4y,设A(x1,y1),B(x2,y2),设直线l的方程为y=kx+1,代入x2=4y得x2-4kx-4=0,所以x1+x2=4k,x1x2=-4,y1+y2=k(x1+x2)+2=4k2+2,所以AB的中点Q为(2k,2k2+1)
21、,所以
22、AB
23、=y1+y2+2=k(x1+x2)+4=4k2+4,在等腰三角形QMN中,∠QMN为锐角,sin∠QMN==1-≥1-=,所以∠QMN的最小值为,此时k=0,即直线l的方程为y=1.5.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的下顶点为A,右顶点为B,离心率e=.抛物线E:y=的焦点为F,P是抛物线E上一点,抛物线E在点P处的切线为l,且l∥AB.(1)求直线l的方程;(2)若l与椭圆C相交于M,N两点,且S△FMN=,求椭圆C的标准方程.解:(1)因为e2=1-=,所以=,所以kAB=,又l∥AB,所以直线l的斜率为.设P(t,),由y=得y′=,
24、因为过点P的直线l与抛物线E相切,所以=,解得t=2,所以P(2,),所以直线l的方程为x-2y-1=0.(2)法一 设M(x1,y1),N(x2,y2),由得2x2-2x+1-4b2=0,则x1+x2=1,x1x2=,易知Δ=4-8(1-4b2)>0,解得b2>,所以
25、x1-x2
26、==.l:x-2y-1=0中,令x=0得y=-,则l交y轴于点D(0,-),又抛物线焦点为F(0,2),所以
27、FD
28、=2+=,所以S△FMN=
29、FD
30、×
31、x1-x2
32、=×=,解得b2=4,所以椭圆C的标准方程为+=1.法二 设M(x1,y1),N(x2,y2),由得2x2-2x
33、+1-4b2=0,则x1+x2=1,x1x2=,易知Δ=4-8(1-4b2)>0,解得b2>,所以
34、x1-x2
35、==.
36、MN
37、=
38、x1-x2
39、=,l:x-2y-1=0,抛物线焦点为F(0,2),则点F到直线l的距离d==,所以S△FMN=
40、MN
41、×d=××=,解得b2=4,所以椭圆C的标准方程为+=1.6.在平面直角坐标系xOy中,过椭圆M:+=1(a>b>0)右焦点的直线x+y-=0交M于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为.(1)求M的方程;(2)C,D为M上的两点,若四边形ACBD的对角线CD⊥AB,求四边形ACBD面积的最大值.解:(1)设A
42、(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则+=1,+=
