2019年高中数学相似三角形的判定及有关性质练习试题新人教A版选修4-1.doc

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1、2019年高中数学相似三角形的判定及有关性质练习试题新人教A版选修4-11．如图所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，S矩形ABCD＝40cm2，若S△ABE∶S△DBA＝1∶5，则AE的长为________．解析：易得△ABE∽△DBA，则AB∶DB＝AE∶AD＝1∶.设AB＝x，则DB＝x，则AD＝2x.即x·2x＝40.x＝2(cm)，则AD＝4，由AE∶AD＝1∶，得AE＝4(cm)．答案：4cm2．已知线段AB，用平行线等分线段定理将它分成两部分，且两部分之比为2∶3.解析：已知：线段AB.求作：线段AB上一点O，使AO∶OB＝2∶3.画法：(1)如图所示，作射线AC

2、.(2)在射线AC上以任意长顺次截取AD＝DE＝EF＝FG＝GH.(3)连接BH.(4)过点G、F、E、D分别作HB的平行线GK、FJ、EO、DI，交AB于点K、J、O、I.则点O为所求的点．3．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，求证：＝.证明：由直角三角形射影定理知AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB，所以＝.由△ADE∽△DBF，知＝.由△ADE∽△ABC，知＝.所以＝·＝·＝·＝.点评：相似三角形与线段成比例间往往是一种等价的关系，联系较为密切，是解决相关问题的思考途径．4．如图所示，BD、CE是△ABC的

3、高，求证：△ADE∽△ABC.证明：∵BD、CE是△ABC的高，∴∠AEC＝∠ADB＝90°.又∵∠A＝∠A，∴△AEC∽△ADB.∴＝.又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC.点评：相似三角形的几个判定定理可能要同时用到，先证两个三角形相似，以此作铺垫，再证另两个三角形相似．5．如图所示，CD平分∠ACB，EF是CD的中垂线交AB的延长线于点E.求证：ED2＝EB·EA.证明：连接EC，∵EF为CD的中垂线，∴EC＝ED，且∠EDC＝∠ECD.又∵∠EDC＝∠A＋∠ACD，且∠ECD＝∠DCB＋∠ECB，CD为∠ACB的平分线，则∠ACD＝∠DCB，∴∠A＝∠ECB.又∠CEA为

4、公共角，∴△ECB∽△EAC.∴＝.∴EC2＝EA·EB.又∵EC＝ED，∴ED2＝EA·EB.点评：证比例中项常用的方法：①可证有公共边的两个三角形相似；②可证有等边的两个三角形相似；③利用等式性质或中间比．6．如图所示，直线EF交AB、AC于点F、E，交BC的延长线于点D，AC⊥BC，且AB·CD＝DE·AC.求证：AE·CE＝DE·EF.证明：∵AB·CD＝DE·AC，∴＝.∵AC⊥BC，∴∠ACB＝∠DCE＝90°.∴△ACB∽△DCE.∴∠A＝∠D.又∵∠AEF＝∠DEC，∴△AEF∽△DEC.∴＝.∴AE·CE＝DE·EF.7．如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，

5、且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F.(1)求证：△ABC∽△FCD；证明：∵DE⊥BC，D是BC的中点，∴EB＝EC.∴∠B＝∠ECB.又∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACB.∴△ABC∽△FCD.(2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的长．解析：如图，过点A作AM⊥BC，垂足为M，∵△ABC∽△FCD，BC＝2CD，∴＝2＝4.又∵S△FCD＝5，∴S△ABC＝20.∵S△ABC＝BC·AM，BC＝10，∴20＝×10×AM.∴AM＝4.又∵DE∥AM，∴＝.∵DM＝DC＝，BM＝BD＋DM，BD＝BC＝5，∴＝.∴DE＝.8．如图所示，AD

6、是△ABC的中线，点E在AD上，点F是BE的延长线与AC的交点．(1)如果点E是AD的中点，求证：＝.证明：如图，过点D作DM∥AC交BF于点M.∵AD是△ABC的中线，∴DM∶FC＝BD∶BC＝1∶2，∴DM＝FC.又∵DM∶AF＝ED∶AE＝1，∴AF∶FC＝1∶2，即＝.(2)由(1)知，当点E是AD的中点时，＝·成立．若点E是AD上任意一点(点E与点A、D不重合)，上述结论是否仍然成立？若成立，请写出证明；若不成立，请说明理由．解析：如图，过点D作DM∥AC交BF于点M，可得DM∶FC＝1∶2，DM∶AF＝ED∶AE，∴AF∶FC＝·.即当E为AD上任意一点时，上述结论仍

7、成立．点评：证“比例线段问题”，通常先作平行线构造基本图形，再由定理“平行于三角形一边且与另两边(或延长线)相交构成的三角形三边与原三角形三边对应成比例”来找出比例式，有时要利用中间比来建立要求证的比例式之间的联系．9．如图所示，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连接FC(AB＞AE)．(1)△AEF与△ECF是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由．解析：相似．在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°.∵EF⊥EC，A、D、E共线，∴∠AEF＋∠D