D1_1高等数学精讲.ppt

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1、第一章函数与极限分析基础函数极限连续—研究对象—研究方法—研究桥梁二、映射三、函数一、集合第一节映射与函数一、集合1.集合的概念⑴集合：具有某种特定性质的事物的总体称为集合.组成集合的事物称为元素.⑵表示符号：一般用大写字母A,B,C…表示集合，用小写字母a,b,c…表示元素。若元素a属于集合A,则记作若元素a不属于集合A,则记作.⑶表示法主要有：列举法：把集合中的元素一一列举出来。自然数集例:有限集合描述法：x具有某种性质例:M={x

2、x2-1=0}有理数集合：p与q互质实数集合:x为有理数或无理数⑷常用的集

3、合：自然数集合：N={0,1,2,…,n,…}正整数集合：N＋={1,2,…,n,…}整数集合：Z={…,-n,…,-1,0,1,…,n,…}⑸集合间的关系：子集：若集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B的子集。记为,读作A包含于B。或记为读作B包含A.例如：空集：不含任何元素的集合称为空集,记作.集合相等：且，则称A=B。真子集：若且，则称A是B的真子集。,,显然有下列关系:2.集合的运算：并集交集且差集且余集或补集或集合的运算法则：见P3直积特例:记为平面上的全体点集无限区间:;其中,a称为邻域中心,

4、称为邻域半径.半开区间:去心邻域左邻域:右邻域:3.区间和邻域开区间:(a,b)={x

5、a

6、;Y的子集称为f的值域.注意:1)映射的三要素—定义域,对应规则,值域.2)元素x的像y是唯一的,但y的原像不一定唯一.对映射若,则称f为满射;若有则称f为单射;若f既是满射又是单射,则称f为双射或一一映射.引例2,3引例2引例2例1.海伦公式例2.如图所示,对应阴影部分的面积则在数集自身之间定义了一种映射(满射)例3.如图所示,则有(满射)(满射)X(数集或点集)说明:在不同数学分支中有不同的惯用X(≠)Y(数集)f称为X上的泛函X(≠)Xf称为X上的变换Rf称为定义在X上的为函数映射又称为算子.名称.例

7、如,2.逆映射与复合映射(1)逆映射的定义定义:若映射为单射,则存在一新映射使习惯上,的逆映射记成例如,映射其逆映射为其中称此映射为f的逆映射.(2)复合映射手电筒D引例.复合映射定义.则当由上述映射链可定义由D到Y的复设有映射链记作合映射,时,或注意:构成复合映射的条件不可少.以上定义也可推广到多个映射的情形.定义域三、函数1.函数的概念定义：设数集则称映射为定义在D上的函数,记为f(D)称为值域函数图形:自变量因变量(对应规则)(值域)(定义域)例如,反正弦主值定义域对应规律的表示方法:解析法、图象法、列表

8、法使表达式及实际问题都有意义的自变量集合（自然定义域）.定义域值域又如,绝对值函数定义域值域例4.已知函数求及解:函数无定义并写出定义域及值域.定义域值域2.函数的几种特性设函数且有区间(1)有界性使称说明:还可定义有上界、有下界、无界(见上册P11)(2)单调性为有界函数.使若对任意正数M,均存在则称f(x)无界.称为有上界称为有下界当时,称为I上的称为I上的单调增函数;单调减函数.(3)奇偶性且有若则称f(x)为偶函数;若则称f(x)为奇函数.说明:若在x=0有定义,为奇函数时,则当必有例如,偶函数双曲余弦

9、记又如,奇函数双曲正弦记再如,奇函数双曲正切记(4)周期性且则称为周期函数,若称l为周期(一般指最小正周期).周期为周期为注:周期函数不一定存在最小正周期.例如,常量函数狄里克雷函数x为有理数x为无理数3.反函数与复合函数(1)反函数的概念及性质若函数为单射,则存在逆映射习惯上,的反函数记成称此映射为f的反函数.其反函数(减)(减).1)y＝f(x)单调递增且也单调递增性质:2)函数与其反函数的图形关于直线对称.例如,对数函数互为反函数,它们都单调递增,其图形关于直线对称.指数函数(2)复合函数则设有函数链称

10、为由①,②确定的复合函数,①—复合映射的特例②u称为中间变量.注意:构成复合函数的条件不可少.例如,函数链:函数但函数链不能构成复合函数.可定义复合两个以上函数也可构成复合函数.例如,可定义复合函数:4.初等函数(1)基本初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数(2)初等函数由常数及基本初等函数否则称为非初等函数.例如,并可用一个式子表示的函数,经过有限次四则运算和复合