2019年高中数学1.7.1定积分在几何中的应用时作业新人教A版选修2-2.doc

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1、2019年高中数学1.7.1定积分在几何中的应用时作业新人教A版选修2-2一、选择题(每小题3分，共12分)1.(xx·广州高二检测)用S表示图中阴影部分的面积，则S的值是(　　)A.f(x)dxB.f(x)dxC.f(x)dx+f(x)dxD.f(x)dx-f(x)dx【解析】选D.因为在区间[a，b]上f(x)<0，所以在区间[a，b]上对应图形的面积为-f(x)dx，所以阴影部分的面积为：S=f(x)dx-f(x)dx.2.由y=，x=1，x=2，y=0所围成的平面图形的面积为(　　)A.ln2B.ln2-1　C.1+ln2D

2、.2ln2【解析】选A.画出曲线y=(x>0)及直线x=1，x=2，y=0，则所求面积S为如图所示阴影部分面积.所以S=dx=lnx=ln2-ln1=ln2.3.已知a=(sinx，cosx)，b=(cosx，sinx)，f(x)=a·b，则直线x=0，x=，y=0以及曲线y=f(x)围成平面图形的面积为(　　)A.B.C.D.【解题指南】求出函数解析式，确定积分区间，利用定积分的几何意义计算面积.【解析】选C.由a=(sinx，cosx)，b=(cosx，sinx)，得f(x)=a·b=2sinxcosx=sin2x，当x∈时，s

3、in2x≥0；当x∈时，sin2x<0.由定积分的几何意义，直线x=0，x=，y=0以及曲线y=f(x)围成平面图形的面积为sin2xdx-sin2xdx=-cos2x

4、+cos2x

5、=1+=.【变式训练】已知a=(cosx，sinx)，b=(cosx，-sinx)，f(x)=a·b，则直线x=0，x=，y=0以及曲线y=f(x)围成平面图形的面积为(　　)A.B.C.D.【解析】选C.由a=(cosx，sinx)，b=(cosx，-sinx)，得f(x)=a·b=cos2x-sin2x=cos2x，当x∈时，cos2x≥0；当x∈

6、时，cos2x<0.由定积分的几何意义，直线x=0，x=，y=0以及曲线y=f(x)围成平面图形的面积为cos2xdx-cos2xdx=sin2x

7、-sin2x

8、=-+=.4.(xx·大连高二检测)若两曲线y=x2与y=cx3(c>0)围成图形的面积是，则c等于(　　)A.B.C.1D.【解析】选B.由得交点(0，0)，，则S=(x2-cx3)dx==·-·=，c=.【误区警示】解答此题时往往误认为积分上限是1，积分区间错误的确定为[0，1].确定积分区间必须通过解曲线交点确定.二、填空题(每小题4分，共8分)5.直线x=，x=，y

9、=0及曲线y=cosx所围成图形的面积为________.【解析】由题意画草图：由图形知面积为S=cosxdx=-cosxdx=-sinx=-(-1-1)=2.答案：26.(xx·青岛高二检测)由曲线y2=2x，y=x-4所围图形的面积是________.【解析】如图，为了确定图形的范围，先求出这两条曲线交点的坐标，解方程组得交点坐标为(2，-2)，(8，4).因此所求图形的面积S=dy.取F(y)=y2+4y-，则F′(y)=y+4-，从而S=F(4)-F(-2)=18.答案：18【一题多解】联立方程组，解得：(2，-2)，(8，

10、4)，S=2dx+(-x+4)dx=18.答案：18三、解答题(每小题10分，共20分)7.(xx·沈阳高二检测)求曲线y=x2和直线x=0，x=1，y=t2，t∈(0，1)所围成的图形(如图阴影部分)的面积的最小值.【解题指南】将阴影部分的面积表示为定积分，建立面积的目标函数求最小值.【解析】由定积分与微积分基本定理，得S=S1+S2=(t2-x2)dx+(x2-t2)dx=+=t3-t3+-t2-t3+t3=t3-t2+，t∈(0，1)，所以S′=4t2-2t，所以t=或t=0(舍去).当t变化时，S′，S变化情况如下表：tS′

11、-0+S↘极小值↗所以当t=时，S最小，且Smin=.【拓展延伸】复杂图形面积的两个求解策略(1)由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间内位于上方和下方的函数有所变化，通过解方程组求出曲线的不同的交点坐标，可以将积分区间进行细化分段，然后根据图象对各段分别求面积进而求和.(2)若积分变量选取x运算较为复杂，可以选y为积分变量，同时更改积分的上、下限.8.(xx·潍坊高二检测)如图，直线y=kx分抛物线y=x-x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值.【解题指南】所围图形的面积可用定积分表示，从而确定出要求的参

12、数.【解析】抛物线y=x-x2与x轴两交点的横坐标x1=0，x2=1，所以，抛物线与x轴所围图形的面积S=(x-x2)dx==-=.由可得抛物线y=x-x2与y=kx两交点的横坐标为x′1=0，x′2=1-k，所以=(x-x2-kx)