2019年高考数学真题分类汇编3.1导数的概念及运算文.doc

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1、2019年高考数学真题分类汇编3.1导数的概念及运算文考点一　导数的概念及几何意义1.(xx陕西,10,5分)如图,修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切).已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分,则该函数的解析式为(　　)A.y=x3-x2-xB.y=x3+x2-3xC.y=x3-xD.y=x3+x2-2x答案　A　2.(xx广东,11,5分)曲线y=-5ex+3在点(0,-2)处的切线方程为　　　　　　　. 答案　5x+y+2=03.(xx江西,11,5分)若曲线y=xlnx上点P处的切线平行于直线2x-y+1=0

2、,则点P的坐标是　　　　. 答案　(e,e)4.(xx安徽,15,5分)若直线l与曲线C满足下列两个条件:(i)直线l在点P(x0,y0)处与曲线C相切;(ii)曲线C在点P附近位于直线l的两侧,则称直线l在点P处“切过”曲线C.下列命题正确的是　　　　(写出所有正确命题的编号). ①直线l:y=0在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=x3②直线l:x=-1在点P(-1,0)处“切过”曲线C:y=(x+1)2③直线l:y=x在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=sinx④直线l:y=x在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=tanx⑤直线l

3、:y=x-1在点P(1,0)处“切过”曲线C:y=lnx答案　①③④5.(xx山东,20,13分)设函数f(x)=alnx+,其中a为常数.(1)若a=0,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)讨论函数f(x)的单调性.解析　(1)由题意知a=0时,f(x)=,x∈(0,+∞),此时f'(x)=.可得f'(1)=,又f(1)=0,所以曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为x-2y-1=0.(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞).f'(x)=+=.当a≥0时,f'(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递

4、增,当a<0时,令g(x)=ax2+(2a+2)x+a,Δ=(2a+2)2-4a2=4(2a+1).①当a=-时,Δ=0,f'(x)=≤0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.②当a<-时,Δ<0,g(x)<0,f'(x)<0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.③当-0,设x1,x2(x10,所以x∈(0,x1)时,g(x)<0,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,x∈(x1,x2)时,g(x)>0,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,x∈(x2,

5、+∞)时,g(x)<0,f'(x)<0,函数f(x)单调递减.综上可得:当a≥0时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a≤-时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减;当-

6、=2x3-3x得f'(x)=6x2-3.令f'(x)=0,得x=-或x=.因为f(-2)=-10,f=,f=-,f(1)=-1,所以f(x)在区间[-2,1]上的最大值为f=.(2)设过点P(1,t)的直线与曲线y=f(x)相切于点(x0,y0),则y0=2-3x0,且切线斜率为k=6-3,所以切线方程为y-y0=(6-3)(x-x0),因此t-y0=(6-3)(1-x0).整理得4-6+t+3=0.设g(x)=4x3-6x2+t+3,则“过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切”等价于“g(x)有3个不同零点”.g'(x)=1

7、2x2-12x=12x(x-1).g(x)与g'(x)的变化情况如下表:x(-∞,0)0(0,1)1(1,+∞)g'(x)+0-0+g(x)↗t+3↘t+1↗所以,g(0)=t+3是g(x)的极大值,g(1)=t+1是g(x)的极小值.当g(0)=t+3≤0,即t≤-3时,此时g(x)在区间(-∞,1]和(1,+∞)上分别至多有1个零点,所以g(x)至多有2个零点.当g(1)=t+1≥0,即t≥-1时,此时g(x)在区间(-∞,0)和[0,+∞)上分别至多有1个零点,所以g(x)至多有2个零点.当g(0)>0且g(1)<0,即-3

8、1时,因为g(-1)=t-7<0,g(2)=t+11>0,所以g(x)分别在区间[-1,0),[0,1)和[1,2)上恰有1个零点.由于g(x)在区间(-∞,0)和(1,+∞)上单调,所以g(