高教出版社线性代数7.ppt

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1、§5.1二次型及其矩阵表示一.二次型的定义§5.2§5.3二次曲线ax2+bxy+cy2=1m(x')2+n(y')2=1OxyyOx第五章二次型§5.1二次型及其矩阵表示f(x1,x2,…,xn)=a11x12+a22x22+…+annxn2+2a12x1x2+2a13x1x3+…+2an-1,nxn-1xnn元实二次型aij=ajinaijxixji,j=1第五章二次型§5.1二次型及其矩阵表示nf(x1,x2,…,xn)=aijxixji,j=1A=a11a12…a1na21a22…a2n…………an1an2…annx=x1x2…xnxTAxf的矩阵A的

2、二次型f的秩:r(A)第五章二次型§5.1二次型及其矩阵表示nf(x1,x2,…,xn)=aijxixji,j=1k1y12+k2y22+…+knyn2?f的标准形xTAx=(y1,y2,…,yn)=k10…00k2…0…………00…kny1y2…yn第五章二次型§5.1二次型及其矩阵表示f(x)=xTAx=(Py)TA(Py)=yT(PTAP)y=g(y)寻求可逆矩阵P,使得寻求可逆的线性变换x=Py,使得PTAP=k10…00k2…0…………00…kn第五章二次型§5.1二次型及其矩阵表示二.矩阵的合同对于方阵A,B,若存在可逆矩阵P,使得PTAP=B,则称

3、A与B相合或合同.矩阵间的相合关系也是一种等价关系.记为:AB.(1)反身性:AA;(2)对称性:ABBA;(3)传递性:AB,BCAC.定理5.1.实对称矩阵与对角矩阵合同.第五章二次型§5.2化二次型为标准形§5.2化二次型为标准形定理5.2.对于任何一个n元实二次型f=xTAx,都有正交变换x=Qy,使f化为标准形f=1y12+2y22+…+nyn2,其中1,2,…,n为A的n个特征值,Q的列向量就是A的对应的n个单位正交特征向量.正交变换下的标准形一.用正交变换化实二次型为标准形§5.2化二次型为标准形第五章二次型

4、例1.用正交变换把将二次型f(x1,x2,x3)=x12+x22+x322x1x3化为标准形.

5、E–A

6、=(–1)(–2).所以A的特征值为1=0,2=1,3=2.代入(E–A)x=0求得对应的特征向量1=(1,0,1)T,2=(0,1,0)T,3=(1,0,–1)T.它们是两两正交的.解:f的矩阵A=101010101,§5.2化二次型为标准形第五章二次型所以A的特征值为1=0,2=1,3=2.代入(E–A)x=0求得对应的特征向量1=(1,0,1)T,2=(0,1,0)T,3=(1,0,–1)T.它们是两两正交的.把它们单

7、位化可得正交矩阵Q=0100,222211110令x=Qy,得该二次型的标准形为f=y22+2y32.§5.2化二次型为标准形第五章二次型二.用配方法化实二次型为标准形例3.用配方法化f=4x12+3x22+3x32+2x2x3为标准形.解:f=4x12+3x22+3x32+2x2x3令则f=4y12+3y22+(8/3)y32.§5.2化二次型为标准形第五章二次型三.用初等变换法化实二次型为标准形例6.f=2x1x2+2x1x3–6x2x3的矩阵为A=011103130,[A,E]=011103130100010001111103230100110

8、001§5.2化二次型为标准形第五章二次型212103230100110001(1/2)11110323010011000120211/2322011/2011/20001()12§5.2化二次型为标准形第五章二次型20201/2222011/2011/2000120211/2322011/2011/20001()1220001/2222211/2111/21001§5.2化二次型为标准形第五章二次型20001/2202211/2111/21001(4)(4)20001/

9、2222211/2111/2100120001/2002611/2311/21001§5.2化二次型为标准形第五章二次型(4)20001/2002611/2311/2100120001/2000611/2311/21001令C=,1101/21/2031120001/20006则CTAC=,即x=Cy把该二次型化为第五章二次型§5.3正定二次型§5.3正定二次型一.惯性定理定理5.3.实二次型f(x)=xTAx总可以通过Rn中的可逆线性变换将其化为标准形f=k1y12+…+knyn2其中k1,