高数 第10章 习题课件.ppt

《高数 第10章 习题课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、一、曲线积分的计算法1.基本方法曲线积分第一类(对弧长)第二类(对坐标)(1)统一积分变量转化定积分用参数方程用直角坐标方程用极坐标方程(2)确定积分上下限第一类:下小上大第二类:下始上终第一类曲线积分计算方法：第二类曲线积分计算方法：其中为有向曲线上点（x，y，z）处的切向量的方向角。注：对于封闭曲线,可考虑用格林公式。例2、计算其中L为圆周解法1.L的参数方程为：则解法2:利用极坐标,原式例3.计算其中L为摆线上对应t从0到2的一段弧.解:(1)利用对称性简化计算;(2)利用积分与路径无关的等价条件;(3)利用格林公式(注意加辅助线的技巧);(4)利用斯托

2、克斯公式;(5)利用两类曲线积分的联系公式.2.基本技巧例5.计算其中L是沿逆时针方向以原点为中心,解法1利用曲线积分与路径无关：令则这说明积分与路径无关,故a为半径的上半圆周.解法2用格林公式：它与L所围区域为D,(利用格林公式)则添加辅助线段解法3直接法：思考题解答:若L改为顺时针方向,如何计算下述积分:方法之一是直接计算、方法之二用格林公式。思考:计算其中L为上半圆周解:沿逆时针方向.例6*.例7.设在右半平面x>0内,力构成力场,其中k为常数,证明在此力场中场力所作的功与所取的路径无关.解:令易证F沿右半平面内任意有向路径L所作的功为二、曲面积分的计算法

3、1.基本方法曲面积分第一类(对面积)第二类(对坐标)转化二重积分第一类曲面积分计算方法：若Σ：z=z(x，y)，则第二类曲面积分计算方法：若Σ：z=z(x，y)，则Σ上侧取正号，下侧取负号。其中α,β，γ为有向曲面Σ上点（x，y，z）处的法向量的方向角。注：对于封闭曲面,可考虑用高斯公式。2.基本技巧(1)利用对称性简化计算(2)利用高斯公式注意公式使用条件添加辅助面的技巧(辅助面一般取平行坐标面的平面)(3)两类曲面积分的转化例1.设L是平面与柱面的交线从z轴正向看去,L为逆时针方向,为平面解:记上L所围部分的上侧,D为在xoy面上的投影.计算例3*.证明

4、:设(常向量)则单位外法线向量,试证设为简单闭曲面,a为任意固定向量,n为的例4.其中为半球面的上侧.且取下侧,解:以半球底面原式=P185题4(2),P185题9同样可利用高斯公式计算.记半球域为,高斯公式有计算为辅助面,利用例6.设L是平面与柱面的交线从z轴正向看去,L为逆时针方向,计算解:记为平面上L所围部分的上侧,D为在xoy面上的投影.由斯托克斯公式例8*.求力沿有向闭曲线所作的功,其中为平面x+y+z=1被三个坐标面所截成三解法1:从z轴正向看去沿顺时针方向.利用对称性角形的整个边界,设三角形区域为,方向向上,则解法2利用斯托克斯公

5、式