高数12-10.ppt

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1、（一）高阶线性微分方程一、二阶线性微分方程以二阶线性微分方程为例讨论高阶线性微分方程。（1）（2）称形如的方程为二阶线性微分方程。在(1)中,若即称（2）为二阶齐次线性微分方程。若则称(1)为二阶非齐次线性微分方程。复习1二、二阶线性微分方程的解的结构也是（2）的解，其中、是任意常数。如果函数与是方程（2）的两个解，则（3）定理1所谓与线性无关是指：则称这n个函数在区间I上线性相关；否则称线性无关。函数的线性相关与线性无关：常数。是定义在区间I上的n个函数，设如果存在n个不全为零的常数使得当x∈I时，有等式恒成立，一般的,2定理2若与是方程(2)的两个线性无关

2、的特解，则(3)就是方程(2)的通解。定理3设y*(x)是二阶非齐次线性微分方程(1)的一个特解，Y(x)是(1)对应的齐次方程的通解，那末就是(1)的通解。3例如及的特解，定理4设非齐次线性微分方程(1)右端是几个函数之和.分别为则就是原方程的特解。4（二）二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程:（1）（2）(1)的特征方程。(2)的两个根(2)的特征根。微分方程的通解如下表特征方程的两个根微分方程的通解两个不相等的实根两个相等的实根一对共轭复根5上面的方法可推广到求解n阶常系数齐次线性微分方程注单实根一对单复根特征方程的根微分方程通解中的对应

3、项给出一项给出两项k重实根给出k项一对k重复根给出2k项n阶常系数齐次线性微分方程的通解为上述所得的各项之和.6第十节二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程一般式是：由定理3，只要求出⑴的一个特解y*及⑴对应的齐次方程的通解Y，即可求得⑴的通解:一般来说，求⑴的特解y*并不容易。对f(x)的下面两种最常见形式，采用待定系数法来求出y*。其中p、q是常数，7推测：将得由于是多项式和指数函数的乘积，而其导数还是多项式和指数函数的乘积，由此，不难推测代入方程⑴：并消去是x的一个m次多项式：其中为常数，一、型是方程⑴的特解（其中Q(x)是某个多项式）

4、.可能8（i）如果要使⑶成立，Q(x)应是一个m次多项式，讨论：即λ不是特征根。不妨设代入⑶式，比较两端同次幂的系数即可确定进而得⑴的特解：（ii）若且即λ是特征方程的单根，同样可以定出的系数可令要使⑶成立，应是一个m次多项式,9要使⑶式成立，应是m次多项式。（iii）若且再比较⑶式两端的系数来确定的系数。可令即λ是特征方程的重根。的特解，其中是与同次（m次）的多项式，综之，而且2λ是特征方程的重根k=0λ不是特征根1λ是特征方程的单根当时，方程⑴具有形如10若λ是特征方程的s重根，k=s.注：上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程，但k是特征方程含根λ

5、的重复次数，即若λ不是特征方程的根，k=0；例1求下列方程的通解：解（1）对应齐次方程的特征方程为所以特征根为：于是齐次方程的通解为：由且λ=0不是特征根，11代入原方程，得所以于是得原方程的一个特解为所求通解为故设原方程特解为：12对应齐次方程的特征方程为：于是齐次方程的通解为由于且λ=2是特征方程的单根，代入所给方程，得所以于是得原方程的一个特解为所求通解为故原方程特解设为：13例2求解对应齐次方程的特征方程为解于是齐次方程的通解为由于且λ=0不是特征方程的根，代入方程，得所以于是得原方程的一个特解为所求通解为故原方程特解设为：把代入上式，得所以原方程满足

6、初始条件的特解为14二、型分别是x的一个l次和n次多项式：其中为常数，和由欧拉公式：变为：把15而m=max{l,n}。其中与都是m次多项式，由情形一及定理4的结论，对于此种类型，特解可设为：把上式改写成：160λ±iω不是特征根k=1λ±iω是特征根都是m次多项式，的特解，其中所以，当时，方程⑴具有形如m=max{l,n}，且注：上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程，但k是特征方程中含根λ±iω的重复次数。17对应齐次方程的特征方程为代入所给方程，得所求通解为解于是齐次方程的通解为由于所以于是得原方程的一个特解为故原方程特解设为：且λ+iω=2i不是

7、特征方程的根，取例3求方程的通解。!!!!!18齐次方程的特征方程为代入所给方程，得所求通解为解于是齐次方程的通解为由于于是得原方程的一个特解为故原方程特解设为：λ+iω=1+2i是特征方程的根，取例4求方程的通解。19例5求方程的通解。由此求得对应齐次方程的特征方程为齐次方程的通解为应有形式的特解；因为有形式的特解，应代入所给方程，得所求通解为于是求得一个特解为解故特解应设为20作业：作业本第12章第18题；下次课学习第12章第12节，请及时预习；21