2019-2020年高中数学3.4对数名师考点精讲北师大版必修1.doc

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1、2019-2020年高中数学3.4对数名师考点精讲北师大版必修1[读教材·填要点]1．对数的概念与性质(1)定义：一般地，如果a(a＞0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b叫作以a为底N的对数，记作logaN＝b．其中a叫作对数的底数，N叫作真数．logaN读作以a为底N的对数．(2)常用对数与自然对数：以10为底的对数叫作常用对数，记作lg_N；以e为底的对数叫作自然对数，记作ln_N．(3)基本性质：①负数没有对数，即logaN中真数必须大于零；②1的对数为0，即loga1＝0；③底数的对数为1，即logaa＝1；④对数恒等式：

2、alogaN＝N．2．对数的运算性质如果a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则：(1)积的对数：loga(MN)＝logaM＋logaN；(2)商的对数：loga＝logaM－logaN；(3)幂的对数：logaMn＝nlogaM(n∈R)．3．对数的换底公式logbN＝(a，b＞0，a，b≠1，N＞0)．[小问题·大思维]1．指数式ab＝N和对数式logaN＝b(a＞0且a≠1，N＞0)有什么关系？提示：关系如图示2．如何用对数的定义证明alogaN＝N?提示：因为若ab＝N，则b＝logaN(a＞0且a≠1)，所以由等量代换得alogaN＝N

3、.3．对数运算性质(1)当M、N同号时成立吗？提示：不一定成立．如lg[(－5)×(－3)]有意义，而lg(－5)、lg(－3)无意义．[研一题][例1]　(1)将对数式log27＝－3化为指数式；(2)将指数式()－2＝16化为对数式；(3)求式子log2(log5x)＝0中的x；(4)计算4(log29－log25)．[自主解答]　(1)因为log27＝－3，所以()－3＝27；(2)因为()－2＝16，所以log16＝－2；(3)因为log2(log5x)＝0，所以log5x＝1，所以x＝5；(4)原式＝2log29－log25＝＝.[

4、悟一法](1)对数式和指数式互化的主要依据是关系式ab＝N等价于b＝logaN(a＞0且a≠1，N＞0)，要注意a、b、N的位置．(2)有关“底数”和“1”的对数，可利用对数的性质求出其值为“1”和“0”，化成常数，有利于化简和计算．(3)对于对数恒等式alogaN＝N要注意其结构特点：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为对数的真数．[通一类]1．(1)将指数式104＝10000和()m＝5化为对数式；(2)将对数式log0.10.01＝2和lnx＝化为指数式；(3)求式log3(lgx)＝1中的x；(4)计算71－log75的值．

5、解：(1)lg10000＝4,m＝log5；(2)0.12＝0.01,e＝x；(3)∵log3(lgx)＝1，∴lgx＝3，∴x＝103＝1000；(4)原式＝＝.[研一题][例2]　计算下列各式的值．(1)log2＋log212－log242；(2)；(3)lg52＋lg8＋lg5·lg20＋lg22.[自主解答]　(1)原式＝log2＝log2＝－；(2)原式＝＝＝；(3)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5×(1＋lg2)＋(lg2)2＝2(lg5＋lg2)＋lg5＋lg2(lg5＋lg2)＝2＋lg5＋lg2＝2＋1＝3.[悟一法]利用对

6、数的运算性质化简、求值的一般策略：①把复杂的真数化简；②正用公式：将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商再化简；③逆用公式：将式中对数的和、差、积、商运用对数的运算法则，将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．[通一类]2．用logax，logay，logaz表示下列各式：(1)loga；(2)loga.解：(1)loga＝loga(xy)－logaz＝logax＋logay－logaz；(2)loga＝loga(x2)－loga＝logax2＋loga－loga＝2logax＋logay－log

7、az.[研一题][例3]　(1)计算：(log2125＋log425＋log85)(log52＋log254＋log1258)．(2)设3a＝4b＝36，求＋的值．[自主解答]　(1)法一：原式＝(log253＋＋)(log52＋＋)＝(3log25＋＋)(log52＋＋)＝(3＋1＋)log25·(3log52)＝13log25·＝13.法二：原式＝(＋＋)(＋＋)＝(＋＋)(＋＋)＝()(3)＝13；(2)法一：由3a＝4b＝36，得a＝log336，b＝log436，∴＋＝2log363＋log364＝log369＋log364＝log

8、3636＝1.法二：对已知条件取以6为底的对数，得alog63＝2，blog62＝1，∴＝log63，＝log62.于是＋＝log63＋log62＝log66＝1.