2019-2020年高中数学3.4对数名师考点精讲北师大版必修1.doc

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1、2019-2020年高中数学3.4对数名师考点精讲北师大版必修1[读教材·填要点]1.对数的概念与性质(1)定义:一般地,如果a(a>0,a≠1)的b次幂等于N,即ab=N,那么数b叫作以a为底N的对数,记作logaN=b.其中a叫作对数的底数,N叫作真数.logaN读作以a为底N的对数.(2)常用对数与自然对数:以10为底的对数叫作常用对数,记作lg_N;以e为底的对数叫作自然对数,记作ln_N.(3)基本性质:①负数没有对数,即logaN中真数必须大于零;②1的对数为0,即loga1=0;③底数的对数为1,即logaa=1;④对数恒等式:

2、alogaN=N.2.对数的运算性质如果a>0,a≠1,M>0,N>0,则:(1)积的对数:loga(MN)=logaM+logaN;(2)商的对数:loga=logaM-logaN;(3)幂的对数:logaMn=nlogaM(n∈R).3.对数的换底公式logbN=(a,b>0,a,b≠1,N>0).[小问题·大思维]1.指数式ab=N和对数式logaN=b(a>0且a≠1,N>0)有什么关系?提示:关系如图示2.如何用对数的定义证明alogaN=N?提示:因为若ab=N,则b=logaN(a>0且a≠1),所以由等量代换得alogaN=N

3、.3.对数运算性质(1)当M、N同号时成立吗?提示:不一定成立.如lg[(-5)×(-3)]有意义,而lg(-5)、lg(-3)无意义.[研一题][例1] (1)将对数式log27=-3化为指数式;(2)将指数式()-2=16化为对数式;(3)求式子log2(log5x)=0中的x;(4)计算4(log29-log25).[自主解答] (1)因为log27=-3,所以()-3=27;(2)因为()-2=16,所以log16=-2;(3)因为log2(log5x)=0,所以log5x=1,所以x=5;(4)原式=2log29-log25==.[

4、悟一法](1)对数式和指数式互化的主要依据是关系式ab=N等价于b=logaN(a>0且a≠1,N>0),要注意a、b、N的位置.(2)有关“底数”和“1”的对数,可利用对数的性质求出其值为“1”和“0”,化成常数,有利于化简和计算.(3)对于对数恒等式alogaN=N要注意其结构特点:①它们是同底的;②指数中含有对数形式;③其值为对数的真数.[通一类]1.(1)将指数式104=10000和()m=5化为对数式;(2)将对数式log0.10.01=2和lnx=化为指数式;(3)求式log3(lgx)=1中的x;(4)计算71-log75的值.

5、解:(1)lg10000=4,m=log5;(2)0.12=0.01,e=x;(3)∵log3(lgx)=1,∴lgx=3,∴x=103=1000;(4)原式==.[研一题][例2] 计算下列各式的值.(1)log2+log212-log242;(2);(3)lg52+lg8+lg5·lg20+lg22.[自主解答] (1)原式=log2=log2=-;(2)原式===;(3)原式=2lg5+2lg2+lg5×(1+lg2)+(lg2)2=2(lg5+lg2)+lg5+lg2(lg5+lg2)=2+lg5+lg2=2+1=3.[悟一法]利用对

6、数的运算性质化简、求值的一般策略:①把复杂的真数化简;②正用公式:将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商再化简;③逆用公式:将式中对数的和、差、积、商运用对数的运算法则,将它们化为真数的积、商、幂、方根,然后化简求值.[通一类]2.用logax,logay,logaz表示下列各式:(1)loga;(2)loga.解:(1)loga=loga(xy)-logaz=logax+logay-logaz;(2)loga=loga(x2)-loga=logax2+loga-loga=2logax+logay-log

7、az.[研一题][例3] (1)计算:(log2125+log425+log85)(log52+log254+log1258).(2)设3a=4b=36,求+的值.[自主解答] (1)法一:原式=(log253++)(log52++)=(3log25++)(log52++)=(3+1+)log25·(3log52)=13log25·=13.法二:原式=(++)(++)=(++)(++)=()(3)=13;(2)法一:由3a=4b=36,得a=log336,b=log436,∴+=2log363+log364=log369+log364=log

8、3636=1.法二:对已知条件取以6为底的对数,得alog63=2,blog62=1,∴=log63,=log62.于是+=log63+log62=log66=1.

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