2019-2020年高中数学3.2指数扩充及其运算性质名师考点精讲北师大版必修1.doc

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1、2019-2020年高中数学3.2指数扩充及其运算性质名师考点精讲北师大版必修1[读教材·填要点]1．分数指数幂(1)定义：给定正实数a，对于任意给定的整数m，n(m，n互素)，存在唯一的正实数b，使得bn＝am，把b叫作a的次幂，记作b＝a，它就是分数指数幂．(2)几个结论：①正分数指数幂的根式形式：a＝(a>0)．②负分数指数幂的意义：a－＝(a>0，m，n∈N＋，且n>1)．③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．2．指数幂的运算性质若a>0，b>0，对任意实数m，n，指数运算有以下性质：(1)am·an＝am＋n；(2)(am)n＝am·n；(3)(ab)m＝ambm．[小问

2、题·大思维]1．若b2＝53，则b＝5，b叫作5的次幂吗？提示：不一定，当b＞0时，可以；当b＜0时，b不叫作5的次幂．2．为什么分数指数幂中规定整数m，n互素？提示：如果没有这个规定将导致幂的运算结果出现矛盾．例如：a中，底数a∈R，当a＜0时，a＜0，而如果把a写成a，有两种运算：一是a＝(a)2就必须a≥0；二是a＝(a2)，在a＜0时，a的结果大于0，与a＜0相矛盾．所以规定整数m、n互素．3．分数指数幂a可以理解为个a相乘，对吗？提示：分数指数幂a不可理解为个a相乘，它是根式的一种新的写法，规定：a＝()m＝(a>0，n、m∈N＋，且为既约分数)，a－＝＝＝(a>0，n、m∈N＋，且

3、为既约分数)．[研一题][例1]　用分数指数幂表示下列各式．(1)(a＞0)；(2)；(3)()－(b＞0)．[自主解答]　(1)原式＝＝＝(a)＝a；(2)原式＝＝＝＝＝＝x－；(3)原式＝[(b－)]－＝b(－)××(－)＝b.[悟一法]此类问题应熟练应用a＝(a＞0，m，n∈N＋，且n＞1)．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后再根据性质进行化简．[通一类]1．用分数指数幂表示下列各式．(1)8；(2)a2·；(3)(a＞0)；(4)(a＞0)．解：(1)8＝23·2＝23＋＝2；(2)原式＝a2·a＝a2＋＝a；(3)原式＝＝＝＝＝a；(4)原式＝＝

4、a2－－＝a.[研一题][例2]　计算或化简．(1)a3b2(2ab－1)3；(2)(0.064)－－(－)0＋[(－2)3]－＋16－0.75＋；(3)(2)0.5＋0.1－2＋(2)－－3π0＋；(4)÷(a＞0)；(5)4＋1·23－2·8－.[自主解答]　(1)原式＝a3b223a3b－3＝8a6b－1；(2)原式＝[(0.4)3]－－1＋(－2)－4＋2－3＋[(0.1)2]＝(0.4)－1－1＋＋＋0.1＝；(3)原式＝()＋102＋()－－3＋＝＋100＋－3＋＝100；(4)原式＝[a×·a×(－)]÷[a×(－)·a×]＝a－＋－＝a0＝1；(5)原式＝(22)＋1·23－2

5、·(23)－＝22＋2·23－2·2－2＝22＋2＋3－2－2＝23＝8.[悟一法]进行分数指数幂的运算要熟练掌握分数指数幂的运算性质，并灵活运用．一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时还要注意运算顺序问题．[通一类]2．计算或化简下列各式．(1)0.027－－(－)－2＋(2)－(－1)0；(2)()－·；(3)÷(1－2)×.解：(1)原式＝()－－()－2＋()－1＝－49＋－1＝－45；(2)原式＝(2－2)－·＝＝；(3)原式＝÷×a＝··a＝a·a·a＝a.[研一题][例3]　已知a＋a－＝3，求下列各式的值：(1)a＋a－1；　(2

6、)a2＋a－2；　(3).[自主解答]　(1)将a＋a－＝3两边平方，得a＋a－1＋2＝9，即a＋a－1＝7；(2)将a＋a－1＝7两边平方，有a2＋a－2＋2＝49.∴a2＋a－2＝47；(3)由于a－a－＝(a)3－(a－)3，所以有＝＝a＋a－1＋1＝8.[悟一法]对“条件求值”问题，一定要弄清已知与未知的联系，然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值．要注意正确地变形及平方、平方差等公式的应用，含开方运算时还要注意其符号问题．[通一类]3．(1)若102x＝25，10＝5，则10y－x＝________．(2)若a－a－＝m，则＝________．解析：(1)由102x＝25，

7、得10x＝5，∴10－x＝(10x)－1＝5－1，而10＝(10y)＝5，∴10y＝52，则10y－x＝10y·10－x＝52·5－1＝5.(2)由a－a－＝m，两边平方得：a＋a－1－2＝m2；∴a＋a－1＝m2＋2，而＝a＋a－1＝m2＋2答案：(1)5　(2)m2＋2设a2n＝3，a＞0，求的值．[解]　法一：由a2n＝3，a＞0得an＝，a－n＝，a3n＝()3＝3，a－3n＝.∴＝＝＝＝