第二章 解线性方程组的直接法.ppt

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1、线性方程组数值解法直接法:高斯消元法列主元素消元法矩阵三角分解法迭代法:雅可比(Jacobi)高斯-赛德尔(Gauss-Seidel)在数值计算中，解决插值、数据拟合和常微分方程求数值解等问题，均可归结为线性方程组的求解。线性方程组的数值求解法分为：直接法和迭代法第二章解线性方程组的直接法(适用于阶数较低方程组)问题的提出这里aij(i,j=1,2,…,n)为方程组的系数，bi（i=1,2,…,n）为方程组自由项。方程组的矩阵形式为：AX=b→Aˉ上（下）三角矩阵2.1高斯消元法一、上三角形方程组的求解

2、上三角方程组满足aii0，i=1,2,•••,n，xn回代求解•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••annxn=bn简单的三阶方程解：二、一般方程组化为上三角方程组的消元过程二、一般方程组化为上三角方程组的消元过程（以3元为例）问题：例2.1表现：系数的绝对值的差异要点：5位，十进制，对阶前一种算法---顺序消元除数绝对值过小→较大舍入误差→算法不稳定后一种算法，考虑绝对值差异…除数绝对值较大→减小舍入误差的影响--稳定启发（选择绝对值尽可能

3、大的元素作除数）引出：列主元消元法，先看课件内容三、列主元消元法1高斯顺序消元致舍入误差大列主元消元法2绝对值大数作除数—减小舍入误差列主元消元法3（矩阵形式，三元为例）增广矩阵（回书上）列主元消元的一般形式（要点）增广k从（1到n-1轮循环）每轮内：求主元判断:不对调对调消元i从（n-1到1轮循环）每轮内：回代2.2解三对角方程的追赶法(1)

4、b1

5、>

6、c1

7、>0;(2)

8、bi

9、≥

10、ai

11、+

12、ci

13、且ai*ci≠0(i=2,3,•••,n-1);(3)

14、bn

15、>

16、an

17、>0;系数矩阵结构和性质特殊--

18、方程组有唯一解且可采用顺序消元成上三角方程组消元过程第一步，将增广矩阵第一行主单元化(即第一行元素除b1),取β1=c1/b1,y1=f1/b1，得如下矩阵：书上叙述有跳跃，以第2行消元及单位化为例补充消元单位化后的终了形式其中β2=c2/(b2-a2β1)从这一矩阵出发，再进行n-2轮类似消元。进行第k轮消元时，将矩阵中第k行元素乘-ak+1后加到第k+1行元素上，再将第k+1行主元单位化，将得到最终增广矩阵其中:消元后,需(n-1)次回代解方程组解.消元过程乘法次数为2(n-1),除法次数2n-1,

19、追赶法所用乘、除总次数为5n-4追：每一追=消元+主元单位化P23例2.2，先看是否满足条件作业二习题二：2.1,2.2,2.410月14日上课时交