3-1 矩阵的初等变换.ppt

《3-1 矩阵的初等变换.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第一节矩阵的初等变换矩阵的初等变换和线性方程组一、高斯消元法解线性方程组二、矩阵的初等变换三、矩阵的等价关系四、小结思考题返回上页下页一、高斯消元法解线性方程组引例求解线性方程组高斯消元法适用于求解任一线性方程组.其基本思想是：通过消元变形，把方程组化为容易求解的同解方程组.返回上页下页返回上页下页(阶梯形方程组)返回上页下页从上述过程可以看出：高斯消元法的具体做法是对线性方程组反复施行如下三种变换：①对换两个方程的位置，简称对换变换；②用非零常数乘某一个方程，简称倍乘变换；③把某个方程乘以常数在加到另一个方程上，简以上三种变换统称为方程组的初等变换.即

2、称倍加变换.线性方程组同解的阶梯形方程组初等变换返回上页下页在本例中，阶梯形方程组中有恒等式0=0，这是因为：在原方程组中，[第①方程乘2]+[第②方程乘(－1)][第③方程]因此，满足方程①②的解必然满足方程③，方程③是多余的(称为多余方程).四个未知量满足三个有效方程，必有一自由未知量.返回上页下页用“回代法”求阶梯形方程组的解，得(其中x2可任意取值)基本未知量自由未知量若令自由未知量x2=c，(其中c为任意常数)方程组的通解(一般解)可记作返回上页下页为了处理上的简便，线性方程组可以用系数和常数项构成的矩阵来表示.即一一对应该矩阵称为线性方程组

3、的增广矩阵.记作(A,b)或(Ab)二、矩阵的初等变换返回上页下页高斯消元法可以通过对增广矩阵进行相应的三类行的变换来实现.方程组的增广矩阵为：仍以引例中的方程组为例.此步骤表示：将方程①和②交换位置；将方程④乘(1/2).注变换前后的矩阵用“~”或“”相连，而不是等号.返回上页下页此步骤表示：利用方程①，将②③④中的x1消去.此步骤表示：利用方程②，将③④中的x3消去.返回上页下页此步骤表示：交换方程③和④.以上形式的矩阵称为行阶梯型矩阵，其特点是：可画出一条阶梯线，线的下方元素都是零；竖线后面第一个元素是该非零行的第一个非零元.每个台阶只有一行；台

4、阶数=非零行的数目，返回上页下页在行阶梯形矩阵中，第4行为全零行，对应着恒等式0=0，这是因为原方程组有多余方程.对应(行阶梯形矩阵)(阶梯形方程组)返回上页下页为省去回代求解的步骤，对行阶梯型矩阵继续作行的变换：(称为行最简形矩阵)行最简形矩阵是特殊的行阶梯型矩阵，其特点是：各个非零行的第一个非零元皆为1；这些非零元所在列的其它元素皆为零.(行阶梯形矩阵)返回上页下页(行最简形矩阵)对应通常，将行阶梯形(或行最简形)矩阵中各非零行第一个非零元所在列对应的未知量作为基本未知量(这里是x1,x3,x4)，其它未知量作为自由未知量(这里是x2)说明若存在自由

5、未知量，其选择方式不是唯一的.返回上页下页综上所述，高斯消元法解线性方程组，其消元步骤就是对增广矩阵作三类行变换：以上三类行变换统称为矩阵的初等行变换.将以上定义中的“行”换成“列”，即得矩阵初等列变换的定义:①，称为对换变换；②，称为倍乘变换；③，称为倍加变换.定义矩阵的初等行、列变换统称为矩阵的初等变换.返回上页下页矩阵的初等变换是可逆的，且逆变换仍为同类型的初等变换.对于初等行变换:初等列变换也有类似结论.逆变换逆变换逆变换返回上页下页增广矩阵行阶梯型矩阵线性方程组同解的阶梯型方程组对应初等行变换(可逆)对应利用增广矩阵实现消元法的步骤总结如下：(

6、或行最简形矩阵)返回上页下页例1求解非齐次线性方程组解将方程组的增广矩阵化为行阶梯型矩阵：返回上页下页(行阶梯型矩阵)返回上页下页将行阶梯型矩阵进一步化为行最简形矩阵：(行最简形矩阵)(行阶梯型矩阵)返回上页下页对应着(行最简形矩阵)即令自由未知量x3=c，(c为任意常数)方程组的一般解可记作返回上页下页例2求解非齐次线性方程组解作初等行变换，化为行阶梯形返回上页下页故原方程组无解.说明在本例中，方程③的左端等于方程①②左端之和，而右端不等于方程①②右端之和，表明方程③和方程①②是矛盾的，故而无解.含有矛盾方程而无解的方程组称为不相容方程组；有解的方程组

7、称为相容方程组.第三行对应矛盾式.返回上页下页对非齐次线性方程组，齐次线性方程组总是有解的，例3求解齐次线性方程组在消元过程中，通过将增广矩阵化为行阶梯形(或行最简形)矩阵，能清楚地揭示出方程组中的多余方程和矛盾方程.由于常数项全为零，只需对系数矩阵进行初等行变换，化为行阶梯形(或行最简形)矩阵，再求方程组的解.返回上页下页解方程组的系数矩阵为对应的方程组是取x1,x3,x4为基本未知量,初等行变换令自由未知量x2=c1，x5=c2，得返回上页下页一般解为(c1,c2为任意常数)评析此例中齐次线性方程组有无穷多解(即有非零解).如果：未知量的个数>有效方

8、程的个数则，一定有自由未知量，从而有无穷多解.(行阶梯形矩阵非零行的行数)对于线