机械优化设计方法第四章 一维搜索.ppt

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1、第四章一维搜索的最优化方法4-1概述求解一元函数f(α)的极小点和极小值，如图4-1所示的α*与f(α*)问题，就是一维最优化问题，其数值迭代方法亦称为一维搜索方法。一维最优化方法是优化方法中最简单、最基本的方法。它不仅可以用来解决一维目标函数的最优化问题更重要的是在多维目标函数的求优过程中，常常需要通过一系列的一维优化来实现。由前述关于多维迭代寻优的讨论中，在任一次迭代计算中，当确定搜索方向S(k)之后，新设计点X(k+1)=X(k)+αS(k)，总是位于过X(k)点的S(k)方向上，而不论步长因子α数值如何。图4-2表示二维优化问题的情况，S(k)

2、应选择使在X(k)点邻域目标函数值下降的方向，同时希望选某一特定的α=α(k)，使产生的新点X(k+1)是在过X(k)点和S(k)方向上的目标函数的极小点。即有这个特定的步长因子α(k)称为最优步长因子。然后，把该X(k+1)点作为下次迭代的出发点，另选新的搜索方向S(k+1)，获得S(k+1)方向上的目标函数极小点，如此重复上述过程，直至把目标函数逼近理论极小值，实现多维目标函数寻优。f(X(k)+α(k)S(k))=minf(X(k)+αS(k))（4-1）式(4-1)表示过X(k)点沿S(k)方向搜索寻优，显然X(k)和S(k)已确定，即可认为是

3、固定的量，所以求解步长α(k)使函数f(X(k)+αS(k))值为极小的问题，也就是求解一元函数f(α)=f(X(k)+αS(k))的极小值问题。如图4-3所示，不论X属于几维向量，从定点X(k)出发，沿确定方向S(k)搜索，α作为单变量寻优求满足式(4-1)的最优步长因子α(k)的过程亦是一维搜索过程。一般来说，从X(k)点出发，沿方向S(k)求函数f(α)=f(X(k)+αS(k))的极小点X(k+1)就构成某些多维最优化方法的一种基本过程。所以一维搜索的效率、稳定性等的索方法与之互相配合，否则将会带来占机时间长，或破坏算法稳定性等缺陷。一维搜索最

4、优化方法很多，有格点法、黄金分割法(0.618法)、分数法和插值法等。我们这里将介绍常用的0.618法和二次插值法。一维搜索过程总的可分为两大步骤：(1)确定函数f(α)的极小点α(k)所在的初始搜索区间[a，b]；(2)在搜索区间[a，b]中搜索寻优极小点α(k)。4-2初始搜索区间的确定要进行一维搜索，首先要确定极小点α(k)所在的初始搜索区间[a，b]。用f(α)代表单变量函数，并假定是单峰函数，考虑的极值问题都是极小值问题。如图4-4(a)所示，在极小点α*左边，函数是严格减小的；而在α*的右边，函数是严格增大的。设是α(1)<α(2)的任意两

5、点，若α(2)≤α*(图4-4(b))，则f(α(1))>f(α(2))；若α(1)≥α*(图4-4(c))，则f(α(1))

6、算法来确定初始搜索区间。设函数f(α)为定义在区间[a,b]上的单变量函数，初始搜索区间[a,b]单变量函数，α*是f(α)在区间[a,b]上的全域极小点，若存在x1,x2∈[a,b]，并有x1<α*f(x2)，则[x1,b]是f(α)极小值点的一个搜索区间。搜索区间确定搜索区间的算法框图某些情况下

7、，目标函数的性态不明确，搜索区间无法人为地预先选定，因此需要采用一定的方法进行自动地寻找，以确定函数极小值点的搜索区间。下面介绍经常用的一种方法-进退法。基本思想：进退法也称成功-失败法。它是从事先给定的初始点α(k)开始，沿搜索方向选定一步长h(k)，取得一个新点α(k+1)=α(k)+h(k)S(k)，计算目标函数值f(α(k+1))。若f(α(k+1))

8、相同的步长h(k)后退，与前述方法相同，去寻找使目标函数值具有“大-小-大”特征的区间。进退算